1、4.1 一元二次函数第一章课标要求1.熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式.2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式.3.掌握一元二次函数y=ax2到y=a(x-h)2+k的图象变换方法,并由一元二次函数图象得到其相关性质.内容索引0102基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升03学以致用随堂检测全达标基础落实必备知识全过关知识点1一元二次函数的图象及其变换1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.“左加右减”“上加下减”名师点睛一元二
2、次函数y=a(x-h)2+k(a0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移;k决定了一元二次函数图象的上下平移.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)函数y=-(x-1)2+3的图象可由函数y=-x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度而得到.()(2)一元二次函数的图象是抛物线,开口可以向左或向右.()2.将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2),开口大小与方向不变,得到的新函数的解析式为.答案 y=-2(x+3)2+2解析 可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为开口大小与方向不
3、变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.知识点2一元二次函数的性质一元二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的性质如下:类别a0a0a0,所以在2,3上该函数的函数值随x的增大而增大,所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数值最大,最大值为-7.规律方法求一元二次函数在闭区间上的最值的方法一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关部分的简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.变式探究在区间-1,3上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.探究点四一元二次方程根的分布【例4】已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+
4、m=0的两个不相等的实数根都小于3,求实数m的取值范围.解(方法一)设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m,要使方程的两个根都小于3,则需(方法二)设一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0所对应的一元二次函数为y=x2+(m+2)x+3+m,二次项系数为1,函数图象开口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2个根都小于3,也就是一元二次函数y=x2+(m+2)x+3+m与x轴的两个交点都在3的左侧,则需规律方法一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根x1,x2(x1x2)的分布和二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的关系如下:变式训练
5、3若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有两个根,且一根比3小,另一根比4大,求参数m的取值范围.本节要点归纳1.知识清单:(1)一元二次函数解析式的三种形式;(2)一元二次函数的图象及变换;(3)一元二次函数的性质.2.方法归纳:配方法、数形结合、图象变换.3.常见误区:易忽视一元二次函数的开口方向.学以致用随堂检测全达标1.已知一元二次函数y=x2+2x+5,它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到()A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度D.向右平移2个单位长度,再向
6、上平移3个单位长度答案 C解析 y=x2+2x+5=(x+2)2+3,显然C正确.2.一元二次函数y=-x2+2x-5有()A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-4D.最小值-4答案 C解析 配方,得y=-(x-1)2-4,所以当x=1时,ymax=-4.3.函数y=3+2x-x2(0 x3)的最小值为()A.-1B.0C.3D.4答案 B解析 y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,函数在0,1上y随着x的增大而增大,在1,3上y随着x的增大而减小,当x=3时,y=3+2x-x2(0 x3)取得最小值为3+23-32=0.4.已知某一元二次函数的图象与x轴交于点A(2,0),B(4,0),
7、且过点(1,3).(1)求此一元二次函数的解析式;(2)求当1xb(b1)时该一元二次函数的最大值和最小值.解(1)设该一元二次函数的解析式y=a(x-2)(x-4),将点(1,3)代入得3=(1-2)(1-4)a,解得a=1,y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.(2)y=(x-3)2-1的对称轴为直线x=3,与点(1,3)关于对称轴对称的点为(5,3),若1b3时,y随着x的增大而减小,则当x=1时,y取得最大值,为y=1-6+8=3,当x=b时,y取得最小值,为y=b2-6b+8;若35时,当x=b时,y取得最大值,为y=b2-6b+8,当x=3时,y取得最小值,为y=9-18+8=-1.综上,当1b3时,y的最大值为3,最小值为b2-6b+8;当35时,y的最大值为b2-6b+8,最小值为-1.
