1、第4课函数的概念及其表示法【自主学习】第4课 函数的概念及其表示法(本课时对应学生用书第78页)自主学习回归教材1.(必修1P26练习4改编)下列对应中为函数的有.(填序号)A=B=N*，对任意的xA，f：x|x-2|；A=R，B=y|y0，对任意的xA，f：x；A=B=R，对任意的xA，f：x3x+2；A=(x，y)|x，yR，B=R，对任意的(x，y)A，f：(x，y)x+y.【答案】【解析】对于，当x=2时，集合B中没有与之对应的元素，故不是函数；对于，当x=0时，没有意义，故不是函数；对于，集合A是点集，不是数集，故不是函数；所以只有满足条件，是函数.2. (必修1P31习题6改编)直
2、线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为.【答案】0或1【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.3. (必修1P33习题13改编)若f()=x-1，则f(2)=.【答案】3【解析】令=2，则x=4，所以f(2)=3.4. (必修1P34习题7改编)已知函数f(x)=若f(x)=2，则x=.【答案】log32【解析】由题意得或解得x=log32.5. (必修1P42练习3改编)已知a，b为实数，集合M=，N=a，0，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=.【答案】【解析】由题意得a=1，b=0，所以a+
3、b=1.1. 函数的概念设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域，将所有的输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域.2.相同函数函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.4. 映射的概念一般地，设A，B是
4、两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.【要点导学】要点导学各个击破函数的概念例1判断下列对应是否为函数.(1)xy=x2+2x+1，xR；(2)xy，这里y4=x，xR，yR；(3)A=(x，y)|x，yR，B=R，对任意(x，y)A，(x，y)x+y.【思维引导】判断标准：根据给出的定义域和对应法则，看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.【解答】(1)对于任意一个实数x，y=x2+2x+1都被x唯一确定，所以当xR时，y=x2+2x+1
5、是函数.(2)考虑输入值1，即当x=1时，y=1，这时一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以不是函数.(3)由于集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数.【精要点评】由解析式判断函数关系，从三个角度入手：(1)定义域是否为数集；(2)定义域中每个值是否使解析式都有意义；(3)由解析式算出的数是否唯一.变式试判断以下各组中的两个函数是否为同一函数.(1)f(x)=，g(x)=；(2)f(x)=，g(x)=(3)f(x)=，g(x)=；(4)f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1.【思维引导】 对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相
6、同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.而我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可.【解答】(1)由于f(x)=|x|，g(x)=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.(2)由于函数f(x)=的定义域为(-，0)(0，+)，而g(x)=的定义域为R，所以它们不是同一函数.(3)由于函数f(x)=的定义域为x|x0，而g(x)=的定义域为x|x-1或x0，所以它们不是同一函数.(4)两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.【精要点评】 (1)分析有关函数定义的问题，一定要与映射相结合，由映射中原象与象的特点解决问题.(2)判断两个或几个函数是否
7、为同一函数，主要从定义域、对应法则和值域这三方面进行判断.有时要对函数的解析式进行化简，然后进行分析.求函数的解析式例2根据下列条件求各函数的解析式.(1)已知f =lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)；(3)已知f=x3+，求f(x).【思维引导】 求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f(g(x)的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较为简单时，甚至可直接用配凑法；对于某些有特殊结构的式子，还会用到对称结构的方程组法.【解答】(1)(换元法)令
8、+1=t(t1)，则x=，所以f(t)=lg，所以f(x)=lg(x1).(2)(待定系数法)设f(x)=ax+b(a0)，则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，所以a=2，b=7，所以f(x)=2x+7.(3)(配凑法)因为f=x3+=-3，所以f(x)=x3-3x(x2或x-2).【精要点评】求函数解析式的常见题型：已知函数类型，用待定系数法求解析式；已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示；已知f(x)求f(g(x)，或已知f(g(x)求f(x)，用换元法、配凑法；若f(x)与f(-x)满足某个
9、等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；应用题求解析式可用待定系数法求解.变式1若函数f(x)=(a0)，f(2)=1，且方程f(x)=x有唯一解，求f(x)的解析式.【解答】由f(2)=1，得=1，即2a+b=2.由f(x)=x，得=x，变形得x=0，解此方程得x=0或x=.又因为方程有唯一解，故=0，解得b=1，代入2a+b=2，得a=，所以f(x)=.【精要点评】待定系数法的常见设法：如果是一次函数，可设为y=ax+b(a0)；如果是二次函数，可设为y=ax2+bx+c(a0)；如果是反比例函数，可设为y=(k0).变式2若集合M=f(x)|存在实数t，使得函数f(x)满足f(t+1)
10、=f(t)+f(1)，有下列函数(a，b，c，k都是常数)：y=kx+b(k0，b0)；y=ax2+bx+c(a0)；y=ax(0a1)；y=(k0)；y=sin x.其中属于集合M的是.(填序号)【答案】【解析】对于，由k(t+1)+b=kt+b+k+b，得b=0，矛盾，不符合；对于，由a(t+1)2+b(t+1)+c=at2+bt+c+a+b+c，得t=，符合题意；对于，由at+1=at+a1，所以at=，由于0a1，at=a，求实数a的取值范围；(2)若f(f(b)=-2，求实数b的值.【思维引导】解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决.
11、【解答】(1)若a0，则a-1a，所以a-3，不合题意，舍去；若aa，所以a-1.综上，实数a的取值范围是(-，-1).(2)由f(f(b)=-2，知f(b)3时，log2(a+1)=3，得a+1=23=8，所以a=7，于是f(a-5)=f(2)=2-1+1=；当a3时，2a-3+1=3，得a=4，不符合条件，综上，f(a-5)=.变式2甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家.下图表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式.(变式2)【解答】当x0，30时
12、，设y=k1x+b1，由已知得解得k1=，b1=0，所以y=x.当x(30，40)时，y=2.当x40，60时，设y=k2x+b2，由解得k2=，b2=-2，所以y=x-2.所以f(x)=1.对于函数y=f(x)，下列说法正确的个数为.y是x的函数；对应不同的x的值，y的值也不同；f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.【答案】2【解析】当函数f(x)是一个常数函数时，如f(x)=0，不论x取何值，y的值都不变，所以不正确；依照函数的定义知，只要满足在条件f之下，对应定义域中的任何一个元素在值域中都有唯一元素与之对应即可，因此，不需要f(x
13、)一定用具体的式子表示出来，所以不正确，从而正确的个数为2.2.(2014启东中学模拟)已知f=x2+，那么f(3)=.【答案】11【解析】因为f=x2+=+2，x0，所以f(x)=x2+2，所以f(3)=32+2=11.3.(2015海安中学模拟)若函数f(x)=则f(3)=.【答案】2【解析】f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.4. (2015浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3)=，f(x)的最小值是.【答案】02-3【解析】f(f(-3)=f(1)=0.当x1时，f(x)2-3，当且仅当x=时，等号成立；当x0，cR，当且仅当x=-2时，函数f(x
14、)取得最小值-2，则函数f(x)的解析式为 .5已知函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是1，2，3，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)132x123g(f(x)则最后一个表格中的三个数依次为 .6已知映射f：AB，其中集合A=-2，-1，1，2，3，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是a2-1，则集合B中至少有个元素.7(2015苏州模拟)已知函数f(x)=则f(f(f(-2)=.8若函数f(x)=f(a)a，则实数a的取值范围是.二、 解答题 9(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，求函数f(x)的解析式.(2)已知f(x)+
15、2f=2x+1，求函数f(x)的解析式.10(2015如皋中学周练)已知函数f(x)=若f(f(x)=1成立，求实数x的取值范围.11如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架.若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x之间的函数解析式，并指出其定义域.(第11题)三、 选做题12(2015黄冈中学二模)若函数f(x)=则方程f(x)=的解集为.13(2015浙江卷)存在函数f(x)满足对任意xR都有.(填序号)f(sin 2x)=sin x；f(sin 2x)=x2+x；f(x2+1)=|x+1|；f(x2+2x)=|x+1|.【检测与评估答案】第二章函数与基本初等函数第4课函
16、数的概念及其表示法1 【解析】由同一函数的定义可知，函数的定义域和对应法则相同即可.那么第一组中定义域不同，第二组中对应法则不同，第三组中定义域不同，只有第四组符合题意.2 f(x)=-x+或f(x)=x+【解析】设f(x)=kx+b，由题意得或解得或3【解析】由图象知f(x)=所以f=-1=-，所以f=f=-+1=.4 f(x)=【解析】因为当且仅当x=-2时，函数f(x)取得最小值-2，所以二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=-=-2，且有f(-2)=(-2)2-2b+c=-2，即2b-c=6，解得b=4，c=2所以f(x)=5 3，2，16 3【解析】当a=2时，a2-1=3；当a=
17、1时，a2-1=0；当a=3时，a2-1=8所以集合B中至少有3个元素.7 2【解析】因为f(x)=所以f(-2)=2-2=，f=4，f(4)=2，所以f(f(f(-2)=28 (-，-1)【解析】当a0时，由f(a)a，得a-1a，解得a-2，舍去；当aa，得a，解得a0，因为x0，解得0x，即函数y=-x2+lx的定义域是.12 【解析】令或或得x=-1或或.故解集为.13 【解析】对于，取x=0，可知f(sin 0)=sin 0，即f(0)=0，再取x=，可知f(sin )=sin，即f(0)=1，矛盾，所以错误；同理可知错误；对于，取x=1，可知f(2)=2，再取x=-1，可知f (2)=0，矛盾，所以错误；对于，令t=|x+1|(t0)，所以f(t2-1)=t (t0)f(x)=，符合题意，故正确.