1、2020-2021学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1下列函数中，最小正周期为的是（）ABCD2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S639，则a3+a4（）A31B12C13D523某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）ABCD4现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A4种B5种C6种D7种5设10x1x2x3x4104，x5105，随机变
2、量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量2取值、的概率也均为0.2，若记D1、D2分别为1、2的方差，则（）AD1D2BD1D2CD1D2DD1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关6若tan2，tan（）2，则tan（2）（）ABCD7设定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）f（x）ln20，f（1）4，则不等式的解集为（）A1，2B1，+）C（，1D（0，18已知函数f（x）cos2x，xa，b，则“”是“f（x）的值域为1，1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9根据预测，某地第n（nN*）
3、个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an，bnn+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A421B451C439D93510若函数yx3x21a，（，e为自然对数的底数）与yx23lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）AB0，e34CD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11在（2x）5的展开式中，x3项的系数是 （用数字作答）12数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn若，则an ；S5 13已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为
4、80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为 ，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为 .（精确到0.1%）14若将函数f（x）sin2x+cos2x的图象向左平移（0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数的一个取值为 15已知数列an满足不等式2anan1+an+1（其中nN*，n2），对于数列an给出下列五个结论：a2a1a3a2；a2+a7a3+a6；a2+a3a6+a7；a54a23a1；数列an的通项公式可以是annlnn以上结论正确的有 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤
5、，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16已知函数由下列四个条件中的三个来确定：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值17在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，2sinAsinC（）求c的长；（）若，求ABC的面积18一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得12分）（）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概
6、率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象19已知函数（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）a对恒成立，a的最小值20已知函数f（x）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x（0，+），都有lnx成立21设等差数列an的各项均为整数，其公差d0，a56（）若a2a100，求d的值；（）若a32，且（5n1n2nt）成等比数列，求nt；（）若（5n1n2nt）成等比数列，求n1的取值集合参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1下列函数中，最小正周期为的是（
7、）ABCD解：函数ysinx的最小正周期为2，故排除A；函数ysinx的最小正周期为4，故排除B；函数ycos（x+）的最小正周期为2，故排除C；函数ytanx的最小正周期为，故D满足条件，故选：D2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S639，则a3+a4（）A31B12C13D52解：由等差数列的性质及其S639，可得3（a3+a4）39，则13故选：C3某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）ABCD解：根据题意，甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，则甲乙两户都没有获得扶
8、持资金的概率P1（1）（1），而“甲乙两户都没有获得扶持资金”和“至少有一户获得扶持资金”互为对立事件，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率P1P1，故选：C4现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A4种B5种C6种D7种解：根据题意，分2种情况讨论：若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有224种种法，若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有212种选择，三号坑有1种选择，此时有212种种法，则有4+26种不同的种法，故选：C5设10x1x2x3x4104，x5105，
9、随机变量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量2取值、的概率也均为0.2，若记D1、D2分别为1、2的方差，则（）AD1D2BD1D2CD1D2DD1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解：由随机变量1、2的取值情况，它们的平均数分别为：（x1+x2+x3+x4+x5），（+） 且随机变量1、2的取值的概率都为0.2，所以有D1D2，故选：A6若tan2，tan（）2，则tan（2）（）ABCD解：因为tan（）2，所以tan（）2所以tan（2）tan（）故选：C7设定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）f（x）ln20，f（1）4，则
10、不等式的解集为（）A1，2B1，+）C（，1D（0，1解：令g（x），则g（x）0，故g（x）在R上单调递增，又g（1），g（x）g（1），故x1，故选：B8已知函数f（x）cos2x，xa，b，则“”是“f（x）的值域为1，1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：首先考虑充分性，函数f（x）cos2x，xa，b，ba，举反例如下：取a，b，满足，ba，但是，f（x）的值域为0，1，不是1，1，所以，“ba”不是“f（x）的值域为1，1”的充分条件，故AC不对；再考虑必要性，由“f（x）的值域为1，1”，可得f（x）cos2x的一个相邻的最大值与最
11、小值间的距离，即半个周期ba，即，故“”是“f（x）的值域为1，1”的必要不充分条件故选：B9根据预测，某地第n（nN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an，bnn+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A421B451C439D935解：（1）an，bnn+5a1514+1520，a2524+1595，a3534+15420，a4104+470430，b11+56，b22+57，b33+58，b44+59，前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a420+95+420+430965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b46+7+8+930，该地区第4个
12、月底的共享单车的保有量为96530935故选：D10若函数yx3x21a，（，e为自然对数的底数）与yx23lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）AB0，e34CD解：根据题意，若函数yx3x21a（x，e为自然对数的底数）与yx33lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程x3x21ax2+3lnxa+1x33lnx，即方程a+1x33lnx在区间上有两组解，设函数g（x）x33lnx，其导数，又由，g（x）0在x1有唯一的极值点分析可得：当时，g（x）0，g（x）为减函数；当1xe时，g（x）0，g（x）为增函数，故函数g（x）x33lnx有最小值g（1）1，又由
13、g（）+3，g（e）e33，比较可得g（）g（e），故函数g（x）x33lnx有最大值g（e）e33故函数g（x）x33lnx在区间上的值域为1，e33；若方程a+1x33lnx在区间上有两组解，必有1a+1+3，则有0a+2，则a的取值范围是0，+2故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11在（2x）5的展开式中，x3项的系数是40（用数字作答）解：在（2x）5的展开式中，通项公式为Tr+125r（x）r，令r3，得展开式中x3项的系数是（1）325340故答案为：4012数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn若，则an2n3；S
14、5解：根据题意，数列an是公比为2的等比数列，若，则a1，则ana1qn12n3，S5故答案为：2n3，13已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为 0.83，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为 67.5%.（精确到0.1%）解：（1）从该电脑卖家中随机购买一台电脑，为甲品牌优质电脑的概率为70%80%0.56，为乙品牌优质电脑的概率为（170%）90%0.27，所以买到优质电脑的概率为0.56+0.270.83；（2）买到
15、的是甲品牌电脑的概率为67.5%故答案为：0.83；67.5%14若将函数f（x）sin2x+cos2x的图象向左平移（0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数的一个取值为 解：因为函数f（x）sin2x+cos2x，将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位，所得函数为，所以函数g（x）的图象关于y轴对称，则有，解得，因为0，所以当k0时，则常数的一个取值为故答案为：15已知数列an满足不等式2anan1+an+1（其中nN*，n2），对于数列an给出下列五个结论：a2a1a3a2；a2+a7a3+a6；a2+a3a6+a7；a54a23a1；数列an的通项公式可以是annlnn以上结论正确
16、的有 解：由条件可知：2a2a1+a3，即a2a1a3a2，故正确；由条件可知：anan1an+1an，即a3a2a4a3a5a4a6a5a7a6，于是，a3a2a7a6，即a3+a6a2+a7，故错误；设数列ann，满足2anan1+an+1，此时a2+a35，a6+a713，此时a2+a3a6+a7，不满足a2+a3a6+a7，故错误；a2a1a3a2a4a3a5a4，即a2a1a3a2，a2a1a4a3，a2a1a5a4，将这三个式子相加可得：3（a2a1）a3a2+a4a3+a5a4a5a2，即a54a23a1，故正确；由2anan1+an+1（其中nN*，n2），联想到当a+b2c时
17、，由，可得出函数f（x）是凹函数，如图所示：由于数列也是特殊的函数，故可判断函数yxlnx（x1）是否是凹函数，由图象可知，曲线上每点的切线斜率即导数是单调递增的，且ylnx+1，设g（x）lnx+1，则0满足已知条件，故正确故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16已知函数由下列四个条件中的三个来确定：f（0）2；最大值为2；最小正周期为（）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值解：（）确定f（x）的三个条件是，当A0且时，Asin0若函数f（x）满足条
18、件，则f（0）Asin2，与Asin0矛盾，所以f（x）不能满足条件所以能确定f（x）的三个条件是，由条件，得，又0，所以2由条件，得|A|2，又A0，所以A2由条件，得，又，所以所以经验证，符合题意（）函数ysinx的单调递增区间为由，得又因为，所以f（x）在区间上的单调递增区间为因为，所以，所以f（x）在区间上的最小值为17在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，2sinAsinC（）求c的长；（）若，求ABC的面积解：（）锐角ABC中，a2，2sinAsinC，由正弦定理得，c4；（）若，则2cos2C1，cos2C，又ABC为锐角三角形，0C，解得cosC，解法一
19、：sinC；又2sinAsinC，sinA，cosA，sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+，ABC的面积为SABCacsinB解法二：由余弦定理得c2a2+b22abcosC，即b2b120，解得b2或b（不合题意，舍去），ABC的面积为SABCabsinC18一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得12分）（）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘
20、游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象解：（）X可能的取值为0，1，2，3每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为PP（X0），P（X1），P（X2），P（X3），所以X的分布列为：X0123P（）设“第i盘游戏获得”为事件Ai（i1，2），则所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为（）设每盘游戏得分为Y由（）知，Y的分布列为：Y1215120PY的数学期望为这表明，获得分数Y的期望为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大19已知函数（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）
21、a对恒成立，a的最小值解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）x2lnx，且f（1），f（1）0，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y；（）由f（x）x2lnx，设g（x）x2lnx，xe，g（x）x，令g（x）0，解得x1，当x1时，g（x）0，函数g（x）单调递减，当1xe时，g（x）0，函数g（x）单调递增，g（x）g（1）0，f（x）0，在（，e）上恒成立，f（x）在（，e）上单调递增，f（x）f（e）e3e，ae3e，a的最小值e3e20已知函数f（x）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x（0，+），都有lnx成立解：（1）函数的定义域为（0，+），
22、令f（x）0，解得0xe，令f（x）0，解xe，函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+）；（2）证明：等价于，即证，由（1）知，当xe时取等号，令，则，易知函数m（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，当x1时取等号，f（x）m（x）对一切x（0，+）都成立，则对一切x（0，+），都有lnx成立21设等差数列an的各项均为整数，其公差d0，a56（）若a2a100，求d的值；（）若a32，且（5n1n2nt）成等比数列，求nt；（）若（5n1n2nt）成等比数列，求n1的取值集合【解答】（）解：因为等差数列an的各项均为整数，所以dZ（1分）由a2a100，得（a53d）（a5+
23、5d）0，即（3d6）（5d+6）0，解得注意到dZ，且d0，所以d1，或d1（）解：由a32，a56，得，从而ana3+（n3）d2+（n3）22n4，故由，成等比数列，得此等比数列的公比为，从而由2nt423t+1，解得nt3t+1+2，t1，2，3，（）解：由，得由，成等比数列，得由，化简整理得因为n15，从而a30，又n1Z且d0，从而a3是12的非6的正约数，故a31，2，3，4，12当a31或a33时，这与an的各项均为整数相矛盾，所以，a31且a33当a34时，由，但此时，这与an的各项均为整数相矛盾，所以，a34当a312时，同理可检验an2Z，所以，a312当a32时，由（）知符合题意综上，n1的取值只能是n111，即n1的取值集合是11
