1、专题质量评估五 ZHUANTI ZHILIANG PINGGU WU课后强化,赢在训练一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.椭圆 =1 的离心率为()A.B.C.D.解析:由题意 e=-.答案:D2.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是()A.-2B.-7C.3D.1解析:由已知条件可知线段 AB 的中点()在直线 x+2y-2=0 上,代入直线方程解得 m=3.答案:C3.已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,
2、则()A.l 与 C 相交B.l 与 C 相切C.l 与 C 相离D.以上三个选项均有可能解析:点 P(3,0)在圆 C 内,l 与圆 C 相交.答案:A4.(2014 福建高考,理 6)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“OAB 的面积为 ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析:k=1 时,图象如图(1),此时OAB 的面积 S=11=,所以 k=1 是OAB 面积为 的充分条件;而当OAB面积为 时,直线 l 有 l1或 l2两种可能,如图(2),k=1 或 k=-1.综上,可知选 A
3、.图(1)图(2)答案:A5.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2与 l1关于直线 y=-x 对称,则直线 l2的斜率为()A.B.-C.2D.-2解析:直线 l2,l1关于直线 y=-x 对称,直线 l2的方程为-x=-2y+3,即 y=x+.故直线 l2的斜率为 ,应选 A.答案:A6.设 F1,F2是双曲线 x2-=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|等于()A.8B.6C.4D.2解析:依题意得 -解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选 A.答案:A7.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过
4、定点()A.(2,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,-1)解析:因为动圆的圆心在抛物线 y2=4x 上,且 x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,所以由抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0).故选 B.答案:B8.(2014 辽宁沈阳质检,10)已知直线 ax+by+c-1=0(bc0)经过圆 x2+y2-2y-5=0 的圆心,则 的最小值是()A.9B.8C.4D.2解析:依题意得,题中的圆心坐标是(0,1),于是有 b+c=1,()(b+c)=5+5+2 =9,当且仅当 即 b=2c=时取等号,因此 的最小值是 9,选 A.答案:A9.(2014 辽宁五校协作体高三联考
5、,8)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是()A.2B.C.D.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4.又 p=1,所以 x1+x2=3,所以点 C 的横坐标是 .答案:C10.(2014 河南开封第一次摸底测试,10)从双曲线 =1(a0,b0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的关系为()A.|MO|-|MT|b-aB.|MO|-|MT|0)的焦点为 F,M 是抛
6、物线 C 上的点,若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9,则 p=.解析:依题意得,OFM 的外接圆半径为 3,OFM 的外接圆圆心应位于线段 OF 的垂直平分线 x=上,圆心到准线 x=-的距离等于 3,即有 =3,由此解得 p=4.答案:412.已知圆 x2+y2=4 上恰好有 3 个点到直线 l:y=x+b 的距离都等于 1,则 b=.解析:由题意知原点到直线 l 的距离 d 为 1,即 d=-=1,b=.答案:13.已知 F1,F2是椭圆 =1 的两个焦点,过点 F2作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点,则F1AB 的周长为 .解析:由已知可得F1AB 的周长为
7、|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.答案:814.(2014 河南开封第一次摸底测试,14)椭圆 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2的大小为 .解析:a2=9,b2=2,c2=7,c=.|PF1|+|PF2|=2a=6,在PF1F2中,|PF1|=4,|PF2|=2,cosF1PF2=-=-,F1PF2=120.答案:12015.(2014 河南洛阳高三统考,14)设 e1,e2分别是具有公共焦点 F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点,O 是 F1F2的中点,且满足|PO|=|OF2|,则 =.解析:由|PO
8、|=|OF2|=|OF1|可知,PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2.又 椭 -双 即 椭 -双 椭 双 +得 椭 双=2c2.又 e1=椭,e2=双,所以 椭 双 椭 双 椭 双 .答案:三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2,在 y 轴上截得的线段长为 2.(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设 y2+2=r
9、2,x2+3=r2.从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.(2)设 P(x0,y0).由已知得 -.又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得 -由 -得 -此时,圆 P 的半径 r=.由 -得 此时,圆 P 的半径 r=.故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.17.(本小题满分 12 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.求:(1)实数 b 的值;(2)以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.解:(1)由 得 x2-4x-4b=0.(*)因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以=
10、(-4)2-4(-4b)=0,解得 b=-1.(2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0,解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2.所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.18.(本小题满分 12 分)(2014 黑龙江大庆第二次质检,20)已知椭圆 C:+y2=1(a1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3)2+(y-1)2=3 相切.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若不过
11、点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 =0,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.解:(1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r=.由题意知 A(0,1),F(c,0),直线 AF 的方程为 +y=1,即 x+cy-c=0,由直线 AF 与圆 M 相切,得 -,解得 c2=2,a2=c2+1=3,故椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)解法一:由 =0 知 APAQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1,直线AQ 的方程为 y=-x+1.联立 整理得(1+3k2)x2+6kx=0,解得 x=0 或 x=-,故点 P 的坐标为(-),同
12、理,点 Q 的坐标为(-),直线 l 的斜率为 -.直线 l 的方程为 y=-(-)-,即 y=-x-.直线 l 过定点(-).解法二:由 =0 知 APAQ,从而直线 PQ 与 x 轴不垂直,故可设直线 l 的方程为 y=kx+t(t1),联立 整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=-,(*)由=(6kt)2-4(1+3k2)3(t2-1)0,得 3k2t2-1.由 =0,得 =(x1,y1-1)(x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0,将(*)代入,得 t=
13、-,直线 l 过定点(-).19.(本小题满分 12 分)(2014 辽宁五校协作体高三联考,20)已知 M(x1,y1)是椭圆 =1(ab0)上任意一点,F为椭圆的右焦点.(1)若椭圆的离心率为 e,试用 e,a,x1表示|MF|,并求|MF|的最值;(2)已知直线 m 与圆 x2+y2=b2相切,并与椭圆交于 A,B 两点,且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧,若 a=2,求ABF的周长.解:(1)设 F(c,0),则|MF|=-.又 =1,则 (-)b2,所以|MF|=(-)-.又-ax1a,且 0e0),连接 OQ,OA,在OQA 中,|AQ|2=-b2.又 (-)b2,所以|A
14、Q|2=,则|AQ|=,同理|BQ|=,所以|AB|+|AF|+|BF|=2a-()x0+x2=2a,又 a=2,所以所求周长为 4.20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭圆 C 上,=0,3|=-5 ,|=2,过点 F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 P,Q 两点.(1)求椭圆 C 的方程.(2)线段 OF2(O 为坐标原点)上是否存在点 M(m,0),使得?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知,AF1F2=90,cosF1AF2=,因为|=2,所以|=,|=,2a=|+|=4,所以 a=2
15、,c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆的方程为 =1.(2)假设存在这样的点 M 符合题意.设线段 PQ 的中点为 N,P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),直线 PQ 的斜率为 k(k0),则直线 PQ 的方程为 y=k(x-1),由 -得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,所以 x1+x2=.故 x0=.又点 N 在直线 PQ 上,所以 N(-).由 ,可得 ()=2 =0,即 PQMN,所以 kMN=-=-.整理得 m=(),所以线段 OF2上存在点 M(m,0)符合题意,其中 m().21.(本小题满分 14 分)(2014 浙江高考,理 21)如图,设
16、椭圆 C:=1(ab0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限.(1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标;(2)若过原点 O 的直线 l1与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b.解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k0),由 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于 l 与 C 只有一个公共点,故=0,即 b2-m2+a2k2=0,解得点 P 的坐标为(-).又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为P(-).(2)由于直线 l1过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1的距离d=|-|,整理得 d=-.因为 a2k2+2ab,所以 -=a-b,当且仅当 k2=时等号成立.所以,点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b.
