1、第二十五讲 图形计数问题（二）【知识梳理】三角形的计数方法：先数基本三角形的个数，然后分类计算包含1,2,3个基本三角形的三角形的个数； 长方形的计数方法：一般的，对于任意长方形（平行四边形、正方形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形、正方形）mn个。【典例精讲1】数一数共有多少个三角形？ 思路分析：要数有多少个三角形，先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个，所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个），在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，都是10个，把它们加起来即可。解答：（4+3+2+1）3=103=30（个）答：共有1
2、0个三角形 。小结：解决这类问题要分好类，再看每一类中有多少个三角形，最后加起来即可，要注意每一类中数三角形个数的方法与数线段的方法相同。【举一反三】1. 数一数图中三角形的个数？2. 下图中一共有多少个三角形?【典例精讲2】数一数图中的长方形有多少个？思路分析：AB边上分成的线段有：6+5+4+3+2+1=21.BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.解答：（6+5+4+3+2+1）（3+2+1）= 216 = 126（个） 答：共有长方形126个小结：解决这类问题要先分别找出相邻两边上线段的条数，再相乘即可。【举一反三】3. 共有多少个长方形？4. 数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格
3、都是边长为1个长度单位的正方形）答案及解析：1.【解析】数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、2、3、4、5、6号，共6个再数两个图形合成的三角形，1+3号，2+6号，4+5号，按顺序两个两个合并，共3个三角形，再数三个图形合成的三角形，1+2+3号，1+2+6号，2+5+6号，3+4+5号，1+4+3号，4+5+6号，按顺序合并，共6个三角形最后数由1+2+3+4+5+6号组成的大三角形，有1个所以共16个三角形【答案】：6+3+6+1=16（个）答：共有16个三角形。2.【解析】：先分类再逐个找个数，最后加起来即可。基本的三角形有: 49=36(个) 由两个基本的三角形组成的
4、三角形有: 49=36(个) 由四个基本的三角形组成的三角形: 432=24(个). 由九个基本的三角形组成的三角形: 42=8(个) 由八个基本的三角形组成的三角形: 44=16(个) 由十八个基本的三角形组成的三角形: 4(个) 【答案】： 36+36+24+8+16+4=124(个) 答：共有三角形124个。3.【解析】先得到长边线段的条数，再得到短边线段的条数，相乘即可求解。【答案】：（6+5+4+3+2+1）（5+4+3+2+1）=2115=315（个）答：共有315个长方形。4.【解析】规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形。以一条基本线段为边的正方形个数共有： 65=30（个）以二条基本线段为边的正方形个数共有： 54=20（个）以三条基本线段为边的正方形个数共有： 43=12（个）以四条基本线段为边的正方形个数共有： 32=6（个）以五条基本线段为边的正方形个数共有： 21=2（个）【答案】：65+54+43+32+21=30+20+12+6+2=70（个）答：共有70个正方形。
