1、第二十一讲 容斥原理（包含与排除）【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）：（用|A|表示集合A中元素的个数，如A=1，2，3，则|A|=3）原理一（二量重叠）：给定两个集合A和B，要计算AB中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出A+B（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|AB|=A+B-AB原理二（三量重叠）：给定三个集合A，B，C。要计算ABC中元素的个数，可以分三步进行：第一步：先求A+B+C；第二步：减去AB，BC，CA；第三步：再加上ABC。即有以下公式：ABC=A+B+C-AB-BC- |CA|+|A
2、BC 【典例精讲1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得90分上的有35人；语文得90分以上的有31人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？思路分析：设A=数学成绩90分以上的学生，B=语文成绩90分以上的学生，那么，集合AB表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，A=35，B=31，AB=38，现要求两科均在90分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理即可解决。解答：设A=数学成绩90分以上的学生，B=语文成绩90分以上的学生，AB=A+B-AB=35+31-38=28答：两科都在90分以上的有28人.小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少
3、。【举一反三】1. 六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？2. 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？3. 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个？【典例精讲2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，参加音乐小组的有23人，参加下象棋小组的有27人，参加书法小组的有18人；同时参加音乐、下象棋两个小组的有4人，同时参加音乐、书法小组的有7人，同时参加下象棋、书法小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外小组共有多少人？思路
4、分析：用原理二（三量重叠）解决。解答：设A=音乐小组的同学，B=下象棋小组的同学，C=书法小组的同学，AB=音乐、下象棋小组的同学，AC=参加音乐、书法小组的同学，BC=参加下象棋、书法小组的同学，ABC=三个小组都参加的同学由题意知：A=23，B=27，C=18AB=4，AC=7，BC=5，ABC=2根据容斥原理二得：ABC=A+B+C-AB-AC|-BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）小结：解决这类问题要清楚哪些是两类都做的，哪些是三类都做的。【举一反三】4. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人
5、至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生人数。5. 在11000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？答案及解析：1.【解析】利用容斥原理求出至少会一种的人数，再用总人数减去这些人数就可以了。【答案】：所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)答：两样都不会的有19人 。2.【解析】：两个长方形如图摆放时出现了重叠，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部
6、分只需计算一次就可以了，所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。【答案】： 42222=12（平方米）答：覆盖面积有12平方厘米。3.【解析】利用容斥原理计算出至少能被5或7整除的数的个数，再用总个数相减即可。【答案】：能被5整除的数共有10005=200（个）；能被7整除的数共有10007=142（个）6（个）；同时能被5和7整除的数共有100035=28（个）20（个）。所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：20014228=314（个）；不能被5或7整除的数一共有1000314=686（个）。4.【解析】要把一项优秀的、两项或者三项优秀计算出来，最后再把都没有获得优秀的加
7、起来就可以了。 【答案】：只有篮球一项达到优秀的有1565+2=6（人）；只有游泳一项达到优秀的有1866+2=8（人）；只有短跑一项达到优秀的有17652=8（人）。获得两项或者三项优秀的有66+522=13（人）。另有4人一项都没获优秀。所以，这个班学生人数是136884=39（人）。5.【解析】：根据容斥原理分类解决即可。 【答案】：被2整除,即 两个两个地数有多少组,10002=500 （表示除后取整数部分）被3整除的有333个，被5整除的有200个，被2和3同时整除的有166个，被2和5同时整除的有100个，被3和5同时整除的有66个，被2、3和5同时整除的有33个，以上条件中不重复的数有 500+333+200-166-100-66+33=734（个），所以,不能被2、3、5任何一个数整除的个数为1000-734=266个。
