1、第九讲 奇数和偶数（二）【知识梳理】性质：（1）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数，两个偶数的积一定是偶数。（2）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（3）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（4）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（5）如果一个整数有奇数个因数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个因数，那
2、么这个数一定不是平方数。【典例精讲1】用3、4、5、6、7这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？思路分析：先确定3、4、5、6、7中奇数与偶数的个数，利用两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数；再利用一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数与两个偶数的积一定是偶数，即可解决。解答：在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以，乘积中是偶数的多。小结：解决此类问题的关键是巧妙地利用奇数与偶数乘积的性质解决。【举一反三】1. 用5、6、7、8、9、11这六个数两两相乘，可以得到15个不同的乘积乘积中是偶数多还是奇数多？说出
3、理由。2. 用19、20、21、22、23、24、25、26、27、28这十个数两两相乘，可以得到若干个不同的积，这些积中有多少个奇数？【典例精讲2】50个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？思路分析：50个连续自然数中一定有偶数，因为若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数，所以本题的乘积必是偶数。解答：因为50个连续自然数中一定有偶数，所以乘积必是偶数。小结：利用“若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数”，是解决此类问题的关键。【举一反三】3. 有99个大于1的自然数，它们的和为300，如果把其中9个数各减去2，其余90个数各加1，那么所得的99个数的乘积是奇数还
4、是偶数？4. 有7张卡片正面分别写着41，42，43，44，44，46，47，而背面的数字为31，32，33，34，35，36，37，问每张卡片正面与反面两数之和的乘积是奇数还是偶数？又问每张卡片正面与反面两数之乘积的和是奇数还是偶数？答案及解析：1.【解析】要判断乘积中是偶数多还是奇数多，首先要求出偶数和奇数的个数；要使乘积是偶数，两两相乘的其中一个因数必须是6或8，那么偶数就有（6，11）（6，5）（6，7）（6，8）（6，9）（8，11）（8，5）（8，7）（8，9）共9个，则奇数就有15-9=6（个），所以乘积中偶数多，奇数少。【答案】：要使乘积是偶数，两两相乘的其中一个因数必须是6或
5、8，偶数有：（6，11）（6，5）（6，7）（6，8）（6，9）（8，11）（8，5）（8，7）（8，9）共9个，奇数有：15-9=6（个），96，所以乘积中偶数多，奇数少。 2.【解析】：根据奇数乘以奇数等于奇数，偶数乘以偶数等于偶数，偶数乘以奇数等于偶数，19、20、21、22、23、24、25、26、27、28这十个数两两相乘，要想它们的积为奇数，那么这两个数都是奇数，奇数有19，21，23，25，27，它们两两相乘可以得到542个奇数，即可解决。 【答案】：根据奇数乘以奇数等于奇数，偶数乘以偶数等于偶数，偶数乘以奇数等于偶数在19、20、21、22、23、24、25、26、27、28，
6、奇数有19，21，23，25，27，54（21）=202=10（个）3.【解析】可先求出这99个数的和，再根据“奇数+奇数=偶数”与“若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数”解决即可。【答案】：99个数的和：30092+901=372是偶数，那么这99个数中至少有1个数是偶数，所以这99个数的乘积是偶数。4.【解析】由于偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，每张卡片上数的奇偶性相同，所以每张卡片正反两面数字之和是偶数，由于偶数偶数=偶数，所以每张卡片正反两面数字之和的乘积还是偶数；由于偶数偶数=偶数，偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，每张卡片上数字的奇偶性相同，所以7张卡片的数字乘积中有四个偶数，三个奇数，又因为四个奇数的和是偶数，每张卡片正面与反面两数之乘积的和还是偶数【答案】：由于由于每张卡片上数的奇偶性是相同的，所以每张卡片正面与反面两数之和是偶数，则偶数偶数=偶数，所以每张卡片正面与反面两数之和的乘积还是偶数；同理可知，所以7张卡片数的乘积中，有四个奇数，三个偶数，又四个奇数的和是偶数，所以每张卡片正面与反面两数之乘积的和还是偶数。
