1、51.2弧度制新课程标准解读核心素养1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系数学抽象3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用数学运算公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作无穷小分析概论中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算问题按照上述定义30是多少弧度？知识点一度量角的两种制度
2、角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的，记作1弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)1用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可2不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值 知识点二角度制与弧度制的换算1弧度数的计算2弧度与角度的换算1一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的2在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等这是因为长度为1的弧
3、是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关()(3)1的角是周角的，1 rad的角是周角的.()(4)1 rad的角比1的角要大()答案：(1)(2)(3)(4)2(多选)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是15答案：ABD知识点三扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR；(2)扇形面积公式：SlRR2在应用弧长公式、扇形面积公式时，
4、要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长lr|13030(cm)()(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变()答案：(1)(2)2已知扇形的半径r30，圆心角，则该扇形的弧长等于_，面积等于_答案：575角度与弧度的换算例1(链接教科书第173页例4)将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)855.解(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.角
5、度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn rad.注意用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数 跟踪训练1把下列弧度化为角度：(1)_；(2)_解析：(1)690.(2)390.答案：(1)690(2)3902把下列角度化为弧度：(1)1 500_； (2)6730_解析：(1)1 5001 500.(2)673067.567.5.答案：(1)(2)用弧度制表示角的集合例2(链接教科书第175页练习3题)把下列角化成2k(02，kZ)
6、的形式，指出它是第几象限角并写出与终边相同的角的集合(1)；(2)1 485.解(1)82，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)1 485536031510，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍注意(1)注意角度与弧度不能混用；(2)各终边相同的角需加2k，kZ. 跟踪训练1若2k(kZ)，则的终边在()A第一象限B第四象限Cx轴上 Dy轴上解析：选D2k(kZ)，6k(kZ)，3k(kZ)当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴
7、的非负半轴上综上，的终边在y轴上，故选D.2若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是()A.B.C.D.(kZ)解析：选D阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以的取值范围是(kZ)扇形的弧长公式及面积公式的应用例3(链接科书第174页例6)若扇形的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形圆心角(正角)的弧度数为()A. B.C. D.解析设扇形的半径为r，圆心角为(02)，由题意，得由得，r，把代入，得221780.解得或8(舍去)故扇形圆心角的弧度数为.答案A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|，Slrr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方
8、程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解 跟踪训练1弧长为3，圆心角为135的扇形的半径为_，面积为_解析：因为135，所以扇形的半径为4，面积为346.答案：462已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，所以l402r，所以Slr(402r)r(r10)2100.所以当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时2 rad.扇形的弧长公式的应用如图，点P，Q从点A
9、(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.问题探究1点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则tt2，解得t4，第一次相遇时用了4 s.2点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角的终边与圆相交的位置，点P走过的弧长为4，点Q走过的弧长为4.3若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则tt2，解得t12 s所以第一次相遇时用了12 s.迁移应用某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针
10、均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t(s)的函数，其中t0，60解：秒针的旋转方向为顺时针，t s后秒针端点A转过的角 rad，秒针端点A转过的路程为d|r(cm)，形成的扇形面积为S|r2(cm2)，d(t0，60)，S(t0，60)1.对应的角度为()A75B125C135 D155解析：选C由于1 rad，所以135，故选C.2在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为()A. cm B. cmC. cm D. cm解析：选A根据弧长公式，得l8(cm)3与角终边相同的角是()A.B2k(kZ)C2k(kZ)D(2k1)(kZ)解析：选BA错误，2，与角的终边不同；B正确，2k，kZ，当k2时，得0，2)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2k，kZ，当k1时，得0，2)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k1)，kZ，当k0时，得0，2)上的角为，与角的终边不同4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_解析：若角的终边落在x轴上方，则2k2k(kZ)答案：|2k2k，kZ
