1、解答题规范专练(四)立体几何1(2015唐山模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，O是AC的中点，A1O平面ABC，BCA90，AA1ACBC.(1)求证：A1BAC1；(2)求二面角ABB1C的余弦值2(2015西安二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：平面PQB平面PAD；(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(3)若二面角MBQC大小为30，求QM的长3(2015洛阳模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，AD
2、1，M是线段AD的中点(1)试在平面ABCD内过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l，说明理由，并证明：l平面AA1D1D；(2)若(1)中的直线l交直线AC于点N，且二面角AA1NM的余弦值为，求 AA1的长答案1解：(1)证明：因为A1O平面ABC，所以A1OBC.又BCAC，A1OACO，所以BC平面A1ACC1，所以AC1BC.因为AA1AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1A1C，又A1CBCC，所以AC1平面A1BC，所以A1BAC1.(2)以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)(2
3、,2,0)，(0,1，)，(2,0,0)设m(x，y，z)是平面ABB1的一个法向量，则m0，m0，即取m(，1)同理设平面CBB1的一个法向量为n(x1，y1，z1)即则n0，n0.取m(0，1)因为cosm，n，所以二面角ABB1C的余弦值为.2解：(1)证明：法一：ADBC，BCAD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ.ADC90，AQB90，即QBAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BQ平面PAD.BQ平面PQB.平面PQB平面PAD.法二：ADBC，BCAD，Q为AD的中点，BCDQ且BCDQ，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ.ADC9
4、0，AQB90，即QBAD.PAPD，PQAD.PQBQQ，AD平面PBQ.AD平面PAD，平面PQB平面PAD.(2)PAPD，Q为AD的中点，PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD.如图，以Q为原点，QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(1，0)M是PC中点，M，(1,0，)，.设异面直线AP与BM所成角为，则cos |cos，|，异面直线AP与BM所成角的余弦值为.(3)由(2)知平面BQC的法向量为n(0,0,1)，由(1) ,01，得(1，
5、(1)，)又(0，0)，设平面MBQ的法向量为m(x，y，z)，则即取x，则y0，z，平面MBQ的法向量为m.二面角MBQC为30，cos 30，.|QM|.3解：(1)在平面ABCD内过M点作直线lDC，l平面A1B1CD，DC 平面A1B1CD，l平面A1B1CD.在长方体ABCDA1B1C1D1中，DCAD，DCDD1，则lAD，lDD1.又ADDD1D，l平面AA1D1D.(2)由(1)知，lDC且M是线段AD的中点，N是线段AC的中点设AA1h，以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A1xyz.则A1(0,0,0)，A(0,0，h)，N，M.(0,0，h)，.设平面A1AN的法向量n1(x1，y1，z1)，则取x11，n1(1，0)设平面A1MN的法向量n2(x2，y2，z2)，则取z21，n2(0，2h,1)二面角AA1NM的余弦值为，cosn1，n2，即，解得h1，即AA11.