1、第14节 导数的应用考纲呈现1了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求导数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值3会利用导数解决某些实际问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减2函数的极值(1)一般地，求函数 yf(x)的极值的方法解方程 f(x)0，当 f(x0)0 时：如果在 x0 附近的左侧，右侧，那么 f(x0)是极大值；如果在
2、x0 附近的左侧，右侧，那么 f(x0)是极小值f(x)0f(x)0f(x)0(2)求可导函数极值的步骤求 f(x)；求方程的根；考查 f(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得；如果左负有正，那么 f(x)在这个根处取得.f(x)0f(x)0极大值极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a
3、，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数 yf(x)在(a，b)内的；将函数 yf(x)的各与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值f(a)f(b)f(a)f(b)极值极值端点【知识拓展】1在某区间内 f(x)0(f(x)0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有 f(x)0(f(x)0)且 f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件 1求函数最值时，易误认为极值点
4、就是最值点，不通过比较就下结论2解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点3利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用4在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有 f(x)0.()(2)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(3)函数在其定义域内离散的点处导数等于 0 不影响函数的单调性()(4)
5、若函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性()2(教材习题改编)函数 yxex 的单调递减区间为()A(，0)B(0，)C1，)D(1，)【答案】B【解析】f(x)1ex0，所以 x0，故选 B.3(教材习题改编)函数 f(x)2xx ln x 的极值是()A.1e B.2e Ce De2【答案】C【解析】因为 f(x)2(ln x1)1ln x，当 f(x)0 时，解得 0 xe；当 f(x)0 时，解得 xe，所以 xe 时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.故选 C.4若函数 f(x)ln xax 在区间(1，)上单调递减，则 a 的取值范
6、围是()A1，)B1，)C(，1 D(，1【答案】A【解析】因为 f(x)ln xax，所以 f(x)1xa，因为函数 f(x)在区间(1，)上单调递减，所以 f(x)1xa0 在区间1，)上恒成立，所以 a1.故选 A.5函数 yx2cos x 在区间0，2 上的最大值是_【答案】6 3【解析】y12sin x，令 y0，又因为 x0，2，解得 x6，则当 x0，6 时，y0；当 x6，2 时，y0，故函数 yx2cos x在 x6时取最大值6 3.课时1 导数与函数的单调性形成型微题组 归纳演绎形成方法 利用导数研究不含参数的函数的单调性 1(2018 湖南长沙第一次模拟)函数 y(3x2
7、)ex 的单调递增区间是()A(，0)B(0，)C(，3)和(1，)D(3,1)【答案】D【解析】y2xex(3x2)exex(x22x3)，由 y0 x22x303x0，f(x)1x212xx.令 f(x)12xx12，函数 f(x)的单调递减区间为12，.微技探究 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求 f(x)(3)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间 1.已知函数 f(x)xlnx，则 f(x)()A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单涮递减C在0，1e 上单调递增 D在0，1e
8、 上单调递减【答案】D【解析】f(x)xln x，函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)ln x1，当 0 x1e时，f(x)0，函数 f(x)在0，1e 上单调递减，当 x1e时，f(x)0，函数 f(x)在1e，上单调递减，故选 D.2.(2018 开封调研)已知定义在区间(，)上的函数 f(x)xsinxcosx，则 f(x)的单调递增区间是_【答案】，2 和0，2 【解析】f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x2时，cos x0，f(x)xcos x0；当2x0 时，cos x0，f(x)xcos x0；当 0 x2时，cos x0，f(x)xcos x0；
9、当2x 时，cos x0，f(x)xcos x0；故单调递增区间为，2 和0，2.利用导数研究含参数的函数的单调性(2018 山东青岛质检)已知函数 f(x)a(x21)ln x，讨论函数 f(x)的单调性【解】f(x)2ax1x2ax21x(x0)，(1)当 a0 时，恒有 f(x)0，则 f(x)在(0，)上是增函数(2)当 a0 时，当 0 x0，则 f(x)在0，12a 上是增函数；当 x 12a时，f(x)0，则 f(x)在 12a，上是减函数 综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上是增函数；当 a0 时，令 3x2a0，得 3a3 x 3a3，f(x)的单调递减区间为 3a3，3
10、a3，依题意，知 3a3 1，即 a3.微技探究 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 (2019 石家庄质检)已知函数 f(x)lnx，g(x)12ax22x(a0)(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,
11、4上单调递减，求 a 的取值范围【解】(1)h(x)lnx12ax22x，x(0，)，所以 h(x)1xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当 x(0，)时，1xax20 有解，即 a1x22x有解 设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min 即可 而 G(x)1x1 21，所以 G(x)min1.所以 a1.又因为 a0，所以 a 的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为 h(x)在1,4上单调递减，所以当 x1,4时，h(x)1xax20 恒成立，即 a1x22x恒成立 由(1)知 G(x)1x22x，所以 aG(x)max，而 G(x)1x1 21，因为 x1,4，所以1x14，1，所以 G(x)max 716(此时 x4)，所以 a 716.又因为 a0，所以 a 的取值范围是 716，0(0，)
