1、1.3.1函数的单调性与导数1. 教学目标 1、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2、 掌握利用导数判断函数单调性的方法。 2. 教学重点/难点 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。3. 教学用具 多媒体、板书4. 标签 教学过程 一、温故知新、引入课题【师】请同学们思考函数单调性的概念？【生】思考交流。【板演/PPT】函数 y = f (x) 在给定区间 D上，D= ( a , b )当 x 1、x 2 D且 x 1 x 2 时都有 f ( x 1) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在D上是增函数；都有 f ( x1
2、) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在D上是减函数；若 f(x) 在D上是增函数或减函数，D称为单调区间则 f(x) 在D 上具有严格的单调性。【师】判断函数单调性有哪些方法？【生】思考交流。【板演/PPT】定义法; 图象法; 已知函数以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性. 在函数y=f(x) 比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。【设计意图】自然进入课题内容。二、新知探究1、函数的单调性与其导函数的关系【合作探究】探究1 函
3、数的单调性与其导函数的关系【师】请同学们思考高台跳水运动员高度函数与速度函数之间的关系？【板演/PPT】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.【活动】思考交流。探究2：运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,【思考】以上情况是否具有一般性呢？观察下面函数的图像（图1.3-3），探讨函数的单
4、调性与其导数正负的关系如图 1.3-3，导数f(x0)表示函数f(x)在(x0,y0)点处的切线的斜率【结论】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减探究3：如果在某个区间内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内有什么特征？【提示】特别的，如果在某个区间内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数探究4：求解函数y=f(x)单调区间的步骤：（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求导数y=f(x)；（3）解不等式f(x)0
5、，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间2、例题讲解例1已知导函数f(x)的下列信息：当时，1x4，f(x)0:；试画出函数y=f(x)图像的大致形状如图1.3-4【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间因此，在R上单调递增，如图1.3-5（1）所示、函数的图像如图1.3-5（2）所示函数的图像如图1.3-5（4）所示注：（3）、（4）生练总结提升根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求
6、出函数的导数.3.解不等式f(x)0,得函数单增区间;解不等式f(x)0,得函数单减区间.【设计意图】学会如何用导数求单调区间，同时再次验证用导数求导与图像求导的结果的一致性！例3如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解析：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度
7、解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图1.3-7所示，函数图像“陡峭”三、复习总结和作业布置1、课堂练习1函数y=3xx3的单调增区间是 ( ) (A) (0，+) (B) (，1) (C) (1，1) (D) (1，+)【设计意图】应用新知识解决之前不能解决的问题。从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题。从算法角度明确如何操作，更清晰，易掌握渗透算法思想，多题归一思想，提高学习效率培养解题后反思意识2设f(x)=x(x0)，则f(x)的单调增区间是 () (A) (，2) (B) (2，0) (C) (，) (D) (，0)3函数y=xlnx在区间(0，1)上是 ( ) (A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, )上是减函数，在(, 1)上是增函数 (D) 在(, 1)上是减函数，在(0,)上是增函数4函数y=x2(x+3)的减区间是_ ，增区间是_.5函数f(x)=cos2x的单调区间是_。课堂练习【参考答案】1.C2.C3.C4.答案(2，0) ；(，2)及(0，+)5.答案 课堂小结 1.求可导函数f(x)单调区间的步骤： 课后习题 1、复习本节课所讲内容2、预习下一节课内容3、课本 P31习题1.3A组1,2,3.11
