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2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习课件:第九章 平面解析几何 9-5 .ppt

上传人:高**** 文档编号:462230 上传时间:2024-05-28 格式:PPT 页数:70 大小:1.13MB
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1、9.5 椭 圆考纲要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想 1椭圆的概念 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_这两个定点叫做椭圆的_,两焦点的距离叫做椭圆的_ 椭圆焦点焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若_,则集合P为椭圆;(2)若_,则集合P为线段;(3)若_,则集合P为空集 acaca0,n0,mn)表示的曲线是椭圆()(5)y2a2x2b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆()(6)x2a2y2b21(ab0)与y2a2

2、x2b21(ab0)的焦距相等()1(教材改编)椭圆x210m y2m21 的焦距为 4,则 m 等于()A4 B8C4 或 8 D12【解析】当焦点在x轴上时,10mm20,10m(m2)4,m4.当焦点在y轴上时,m210m0,m2(10m)4,m8.【答案】C【解析】由题意知25m216,解得m29,又m0,所以m3.【答案】B 2(2015广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4,0),则 m 等于()A2 B3C4 D93已知椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 33,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若AF1B

3、 的周长为 4 3,则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y241【答案】A【解析】AF1B 的周长为 4 3,4a4 3,a 3,离心率为 33,c1,b a2c2 2,椭圆 C 的方程为x23y221.故选 A.4如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是_ 【答案】(0,1)【解析】将椭圆方程化为x22y22k1,因为焦点在 y 轴上,则2k2,即 k1,又 k0,所以 0k1.5(教材改编)已知点 P 是椭圆x25y241 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点

4、 P的坐标为_【解析】设 P(x,y),由题意知 c2a2b2541,所以 c1,则 F1(1,0),F2(1,0),由题意可得点 P 到 x轴的距离为 1,所以 y1,把 y1 代入x25y241,得 x 152,又 x0,所以 x 152,P 点坐标为152,1 或152,1.【答案】152,1 或152,1题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 椭圆定义的应用【例1】(2016枣庄模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线D圆【解析】由条件知|

5、PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆【答案】A 命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程【例 2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3倍,并且过点 P(3,0),则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1),P2(3,2),则椭圆的方程为_【解析】(1)若焦点在 x 轴上,设方程为x2a2y2b21(ab0),椭圆过 P(3,0),32a202b21,即 a3,又 2a32b,b1,方程为x29y21.若焦点在 y 轴上,设方程为y2a2x2b21(ab0)椭圆过点 P(3,0)02a23

6、2b21,即 b3.又 2a32b,a9,方程为y281x291.所求椭圆的方程为x29y21 或y281x291.(2)设椭圆方程为 mx2ny21(m0,n0 且 mn)椭圆经过点 P1,P2,点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程 则6mn1,3m2n1,两式联立,解得m19,n13.所求椭圆方程为x29y231.【答案】(1)x29y21 或y281x291(2)x29y231【方法规律】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数 法,利 用 椭 圆 的 定 义 定 形 状 时,一 定 要 注 意 常 数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再

7、定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0,n0,mn)的形式 跟踪训练1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A圆B椭圆 C双曲线D抛物线(2)过点(3,5),且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为_(3)(2017黑龙江大庆二模)如图,已知椭圆 C 的中心为原点O,F(2 5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|OF|,且|PF|4,则椭圆 C 的

8、方程为_【解析】(1)点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|PN|,又AM是圆的半径,|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆(2)方法一 椭圆y225x291 的焦点为(0,4),(0,4),即 c4.由椭圆的定义知,2a(30)2(54)2(30)2(54)2,解得 a2 5.由 c2a2b2 可得 b24.所求椭圆的标准方程为y220 x241.方法二 所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同,其焦点在 y 轴上,且 c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)c216,且 c2a2b2,故 a2b216.又点(3,5)在所求椭圆上,(

9、5)2a2(3)2b21,即 5a2 3b21.由得 b24,a220,所求椭圆的标准方程为y220 x241.(3)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0),焦距为 2c,右焦点为 F,连接 PF,如图所示 因为 F(2 5,0)为 C 的左焦点,所以 c2 5.由|OP|OF|OF|知,FPF90,即 FPPF.在 RtPFF中,由勾股定理,得|PF|FF|2|PF|2(4 5)2428.由椭圆定义,得|PF|PF|2a4812,所以 a6,a236,于是 b2a2c236(2 5)216,所以椭圆的方程为x236y2161.【答案】(1)B(2)y220 x241(3)x236y2

10、161题型二 椭圆的几何性质【例 3】(1)已知点 F1,F2 是椭圆 x22y22 的左,右焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么|PF1 PF2|的最小值是()A0 B1C2 D2 2(2)(2015浙江)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是_【解析】(1)设 P(x0,y0),则PF1(1x0,y0),PF2(1x0,y0),PF1 PF2(2x0,2y0),|PF1 PF2|4x204y20 2 22y20y20 2 y202.点 P 在椭圆上,0y201,当 y201 时,|PF1 PF2|取最小值 2.

11、故选 C.(2)方法一 设椭圆的另一个焦点为 F1(c,0),如图,连接QF1,QF,设 QF 与直线 ybcx 交于点 M.由题意知 M 为线段 QF的中点,且 OMFQ.又 O 为线段 F1F 的中点,F1QOM,F1QQF,|F1Q|2|OM|.在 RtMOF 中,tanMOF|MF|OM|bc,|OF|c,可解得|OM|c2a,|MF|bca,故|QF|2|MF|2bca,|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a,整理得 bc,a b2c2 2c,故 eca 22.方法二 设 Q(x0,y0),则 FQ 的中点坐标x0c2,y02,kFQ y

12、0 x0c,依题意y02bcx0c2,y0 x0cbc1,解得x0c(2c2a2)a2,y02bc2a2,又因为(x0,y0)在椭圆上,所以c2(2c2a2)2a64c4a4 1,令 eca,则 4e6e21,离心率 e 22.【答案】(1)C(2)22【方法规律】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系(2)求

13、椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2b2c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围 跟踪训练 2(1)(2016课标全国)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)(2017湖南四县市下学期3月模拟)已知两定点A(1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:yx2上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为_【解析】(1)如图,|OB|为椭圆中心到 l 的距离,则|OA|OF|AF|OB|,即

14、 bcab2,所以 eca12.故选 B.(2)A(1,0)关于直线 l:yx2 的对称点为 A(2,1),连接 AB 交直线 l 于点 P,则椭圆 C 的长轴长的最小值为|AB|(12)21 10,所以椭圆 C 的离心率的最大值为ca1102 105.【答案】(1)B(2)105题型三 直线与椭圆的综合问题命题点 1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质【例 4】(2015重庆)如图,椭圆x2a2y2b21(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点,且PQPF1.【解析】(1)由椭圆的定义,2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4,故 a2.设椭圆的

15、半焦距为 c,由已知 PF1PF2,因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|2(2 2)2(2 2)22 3,即 c 3,从而 b a2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(1)若|PF1|2 2,|PF2|2 2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率 e.(2)方法一 连接 F1Q,如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1PF2,则x20a2y20b21,x20y20c2,求得 x0aca22b2,y0b2c.由|PF1|PQ|PF2|得 x00,从而|PF1|2a a22b2cc b4c2.2(a2b2)2a a22b2(a a22b2)2.由椭圆的

16、定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a,从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由 PF1PQ,|PF1|PQ|,知|QF1|2|PF1|,因此,(2 2)|PF1|4a,即(2 2)(a a22b2)4a,于是(2 2)(1 2e21)4,解得 e12142 21 2 6 3.方法二 如图,由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由 PF1PQ,|PF1|PQ|,知|QF1|2|PF1|,因此,4a2|PF1|2|PF1|,得|PF1|2(2 2)a,从

17、而|PF2|2a|PF1|2a2(2 2)a2(21)a.由 PF1PF2,知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2,因此 eca|PF1|2|PF2|22a (2 2)2(21)2 96 2 6 3.命题点 2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质【例 5】(2017辽宁大连双基测试)已知椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0),F2(c,0),过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,满足|AF2|36 c.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)M,N 是椭圆 C 短轴的两个端点,设点 P 是椭圆 C 上一点(异于椭圆 C 的

18、顶点),直线 MP,NP 分别和 x 轴相交于 R,Q两点,O 为坐标原点若|OR|OQ|4,求椭圆 C 的方程【解析】(1)方法一 点 A 的横坐标为 c,代入椭圆,得c2a2y2b21.解得|y|b2a|AF2|,即b2a 36 c,a2c2 36 ac.e2 36 e10,解得 e 32.方法二 在 RtAF1F2 中,|F1F2|2c,|AF2|36 c,由勾股定理,得|AF1|2 112c24c24912c2,|AF1|7 36 c,2a7 36 c 36 c4 33 c,ca 32,即 e 32.(2)设 M(0,b),N(0,b),P(x0,y0),则直线 MP 的方程为 yy0

19、bx0 xb.令 y0,得点 R 的横坐标为 bx0by0.直线 NP 的方程为 yy0bx0 xb.令 y0,得点 Q 的横坐标为 bx0by0.|OR|OQ|b2x20b2y20 a2b2a2y20b2y20a24,c23,b21,椭圆 C 的方程为x24y21.【方法规律】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单 跟踪训练3(2015北京)已知椭圆C:x23y23,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x3交

20、于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由【解析】(1)椭圆 C 的标准方程为x23y21,所以 a 3,b1,c 2.所以椭圆 C 的离心率 eca 63.(2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,所以可设 A(1,y1),B(1,y1),直线 AE 的方程为 y1(1y1)(x2)令 x3,得 M(3,2y1)所以直线 BM 的斜率 kBM2y1y1311.(3)直线 BM 与直线 DE 平行,证明如下:当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 kBM1.又因为直线 DE 的斜率 kDE102

21、11,所以 BMDE,当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 yk(x1)(k1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AE 的方程为 y1y11x12(x2)令 x3,得点 M3,y1x13x12,由x23y23,yk(x1),得(13k2)x26k2x3k230,所以 x1x2 6k213k2,x1x23k2313k2.直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2,因为 kBM1 k(x11)x13k(x21)(x12)(3x2)(x12)(3x2)(x12)(k1)x1x22(x1x2)3(3x2)(x12)(k1)3k2313k2 12k213k23(3x2)(x12

22、)0,所以 kBM1kDE,所以 BMDE.综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行高频小考点 8高考中求椭圆的离心率问题【典例】(1)(2016课标全国)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点P 为 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)(2017江西南昌一模)已知椭圆的左焦点为 F1,右焦点为F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF2 相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点

23、为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为()A.53B.13C.36D.23【解析】(1)由题意知过点 A 的直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 yk(xa),当 xc 时,yk(ac),当 x0 时,yka,所以 M(c,k(ac),E(0,ka)如图,设OE 的中点为 N,则 N0,ka2,由于 B,M,N 三点共线,所以kBNkBM,即ka2ak(ac)ca,所以12acac,即 a3c,所以 e13.故选 A.(2)如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF2 相切于点 M,连接 OM.M,O 分别是 PF2,F1F2 的中点,MOPF1,且|PF1|2|MO|

24、2b.又OMPF2,PF1PF2.|F1F2|2c,|PF2|4c24b2.根据椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,2b 4c24b22a,ab c2b2.两边平方,得 a22abb2c2b2,c2a2b2,代入并化简得 2a3b,b23a.caa249a2a 53,即椭圆的离心率为 53,故选 A.【答案】(1)A(2)A【温馨提醒】离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表达,转化为关

25、于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧 1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 2求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为x2my2n1(m0,n0,且 mn)可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为 Ax2By21(A0,B0,且 AB),这种形式在解题中更简便3讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种:(1)求得 a,c 的值,直接代入公式 eca求得;(2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2a2c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解失误与防范1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小2注意椭圆的范围,在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

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