1、1.4生活中的优化问题举例一、选择题(每小题5分，共20分)1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A.cm B100 cmC20 cm D.cm解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)答案：A2某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大()A23万件 B25万件C50万件 D75万件解析：设单价为a，由题意知a2且502，k50210025104，a
2、2，即a，总利润yaxC(x)x500x31 200，y250xx2，令y0得x25，产量定为25万件时总利润最大答案：B3做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，要使其造价最低，则底面直径与高的比应为()A. B.C. D.解析：设底面半径为r，高为h，总造价为y，由Vr2h，h.y2r2a2rhb2r2a，y4Ar，令y0得r，当r时y取得最小值，则，故选D.答案：D4用长为24 m的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：设长
3、方体的底面边长为x，则高为(62x)m，0x3，则Vx2(62x)6x22x3，V12x6x2，令V0得x2或x0(舍)，当x(0,2)时，V是增函数，当x(2,3)时，V是减函数，当x2时，Vmax428(m3)答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5圆柱形金属饮料罐的容积为16 cm3，它的高是_cm，底面半径是_cm时，可使所用材料最省解析：设底面半径为r，高为h，圆柱的表面积为y，r2h16，h.y2r22rh2r22r2r2，y4r，令y0得r2，当r2，h4时，可使所用材料最省答案：426海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当
4、速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_解析：由题意设燃料费y与航速x间满足yax3(0x30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则yav340020v2，由y40v0得v2030.答案：20海里/小时三、解答题(每小题10分，共20分)7某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2.问：x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解析：
5、依题意，有xyx8，所以y(0x4)于是框架用料长度为l2x2y2x.所以l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x0.所以当x84时，l取得最小值此时，x842.343(m)，y2.828(m)即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省8如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值解析：设CDx，则点C坐标为.点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)xx(x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f(x)0，f(x)是递增的x时，f(x)0，f(x)是递减的当x时，
6、f(x)取最大值.9(10分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析：(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可知，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大5
