1、广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知函数y=lnx的定义域A，B=x|0x1，则AB=（）A（0，+）B0，1C（0，1D0，1）2（5分）函数的定义域为（）A4，1B4，0）C（0，1D4， 0）（0，13（5分）函数y=2x2（a1）x+3在（，1内递减，在（1，+）内递增，则a的值是（）A1B3C5D14（5分）已知角的终边过点P（3cos，4cos），其中（，），则cos的值是（）ABCD5（5分）若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）Alo
2、g2xBCD2x26（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的是（）Af（x）=Bf（x）=（x1）2Cf（x）=exDf（x）=ln（x+1）7（5分）方程ln（2x+1）=的一个根落在区间（）（参考数值：ln1.50.41，ln20.69，ln2.50.92）A（，0）B（0，）C（，）D（，）8（5分）已知tanx=sin（x+），则sinx=（）ABCD9（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（2）=0，则0的解集为（）A（2，0）（0，2）B（，2）（0，2）C（，2）（2，+）D（2，0）（2，+）
3、10（5分）函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）ABCD11（5分）如图，在ABC中，ADAB，则=（）ABC3D12（5分）如图是函数y=Asin（x+）xR在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=cos（x），（xR）的图象上所有的点（）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）13（6
4、分）若cos（2）=，且（，0），则sin（）=14（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的xR，都有f（x+3）=，且f（2）=，则f=15（6分）函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）图象的对称轴方程是16（6分）已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，若=x+y，且x+2y=1，则cosBAC=三、解答题（本题有5小题，共66分）17（12分）已知（，），sin=（1）求cos2的值；（2）求cos（2）的值18（12分）如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长19（14分）已
5、知向量=（sin，），=（cos，cos2），f（x）=（I）若f（x）=0，求sin（+x）值；（II）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的最大值及相应的角A20（14分）已知函数f（x）=2x2+mx2m3（1）若函数在区间（，0）与（1，+）内各有一个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）（3m+1）x3m11在x（，+）上恒成立，求实数m的取值范围21（14分）已知函数f（x）=（）判断函数f（x）在区间（0，+）上的单调性；（）若函数g（x）=f（x）kx2（kR）有四个不同的零点，求实数k的取值范围广东省汕头市
6、金山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知函数y=lnx的定义域A，B=x|0x1，则AB=（）A（0，+）B0，1C（0，1D0，1）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出函数y=lnx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可解答：解：由函数y=lnx，得到x0，即A=（0，+），B=x|0x1=0，1，AB=（0，1故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）函数的定义域为（）A4，1B4，0）C（0，1D4，0）（0，1考点：函数的定义域及其求法 分析：为使得
7、式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0解答：解：由得4x0或0x1，故选D点评：注意偶次开方一定非负且分母不为03（5分）函数y=2x2（a1）x+3在（，1内递减，在（1，+）内递增，则a的值是（）A1B3C5D1考点：函数单调性的性质；二次函数的性质 分析：由题义为二次函数单调性及图象问题，有二次函数在（，1内递减，且在（1，+）内递增的对称轴方程即可解出a解答：解：依题义可得函数y=2x2（a1）x+3对称轴x=1，a=5故选C点评：此题重点考查了二次函数的图象及单调性，要求学生熟记二次函数并准确理解二次函数性质4（5分）已知角的终边过点P（3cos，4cos），其中（，）
8、，则cos的值是（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：先根据的范围确定cos的符号，进而表示出r，结合三角函数的cos=，可求得三角函数值解答：解：（，），1cos0，r=5cos，故cos=故选：B点评：本题主要考查已知角的终边上的点的坐标求三角函数值的问题考查基础知识的简单应用和计算能力5（5分）若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）Alog2xBCD2x2考点：反函数 专题：计算题分析：求出y=ax（a0，且a1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）解答：解：函数y=a
9、x（a0，且a1）的反函数是f（x）=logax，又f（2）=1，即loga2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选A点评：本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式6（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的是（）Af（x）=Bf（x）=（x1）2Cf（x）=exDf（x）=ln（x+1）考点：函数单调性的判断与证明 专题：综合题分析：根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断解答：解：对任意x1、x2（0，+），当
10、x1x2时，都有f（x1）f（x2），函数在（0，+）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，故B不对；C、由于e1，则由指数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（1，+），由于e1，则由对数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故D不对；故选A点评：本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用7（5分）方程ln（2x+1）=的一个根落
11、在区间（）（参考数值：ln1.50.41，ln20.69，ln2.50.92）A（，0）B（0，）C（，）D（，）考点：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解 专题：计算题；函数的性质及应用分析：令f（x）=ln（2x+1），得出f（）=ln1.50，f（）=ln20，从而得出答案解答：解：令f（x）=ln（2x+1），而f（）=ln1.50，f（）=ln20，方程ln（2x+1）=的一个根落在区间（，），故选：C点评：本题考查了函数的零点的判断，属于基础题8（5分）已知tanx=sin（x+），则sinx=（）ABCD考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题分析：利用诱导公式和同角三
12、角函数基本关系，把题设等式转化成关系sinx的一元二次方程求得sinx的值解答：解：tanx=sin（x+），tanx=cosx，sinx=cos2x，sin2x+sinx1=0，解得sinx=（或1，舍去）故选C点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用解题的关键是能熟练掌握同角三角函数中的平方，倒数，商数等特殊关系9（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（2）=0，则0的解集为（）A（2，0）（0，2）B（，2）（0，2）C（，2）（2，+）D（2，0）（2，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；数形结合；转化思想分析：根据函数f（x）为奇函数，且在（
13、0，+）内是增函数，又f（2）=0，判断函数f（x）在R上的符号，根据奇函数把0转化为0，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得0的解集解答：解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（2）=0，所以x2或2x0时，f（x）0；x2或0x2时，f（x）0；0，即0，可知2x0或0x2故选A点评：考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题10（5分）函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）ABCD考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质
14、分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k，kZ可解得函数f（x）在，区间上单调递增，结合选项即可得解解答：解：f（x）=cos=sinx+=sin（x+），由2kx+2k，kZ可解得：2kx2k，kZ当k=0时有函数f（x）在，区间上单调递增，又，故选：D点评：三角函本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查11（5分）如图，在ABC中，ADAB，则=（）ABC3D考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：由ADAB，知cos=cosADB=，由，知=（）=，由此能求出其结果解答：解：ADAB，cos=
15、cosADB=，=（）=|cos=|=故选A点评：本题考查平面向量数量积的应用，是中档题解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化12（5分）如图是函数y=Asin（x+）xR在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=cos（x），（xR）的图象上所有的点（）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变考点：函数y=Asin（x+）的图
16、象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可解答：解：由图象可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+）代入（，0）可得的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=cos（x）=sinx（xR）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变故选：B点评：本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求三角函数图象进行平移
17、变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的 ，属于中档题二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）13（6分）若cos（2）=，且（，0），则sin（）=考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题分析：由题意求出cos的值，利用诱导公式化简sin（），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可解答：解：cos（2）=cos=，又（，0），故sin（）=sin=故答案为：点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型14（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的xR，都有f（x+3）=，且f（2）=，则f=2考点
18、：函数的周期性；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由条件得到函数的周期为6，利用周期性进行转化即可解答：解：f（x+3）=，f（x+6）=f（x），则函数的周期为6，则f=f（33661）=f（1）=，故答案为：2；点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性是解决本题的关键15（6分）函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）图象的对称轴方程是考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x），将2x看作整体借助于正弦
19、函数的对称轴方程求解解答：解：f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）=cos2x+sin2x+sin（2x）=cos2x+sin2xcos2x=cos2x+sin2x=sin（2x）由2x=k+，kZ得图象的对称轴方程 x=+，kZ故答案为：点评：本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，考查了整体换元的思想方法，考查了转化思想，属于中档题16（6分）已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，若=x+y，且x+2y=1，则cosBAC=或考点：向量加减混合运算及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：如图所示，由于且x+2y=1可得，利用向量的运算
20、法则可得=取AC的中点D，则于是，再利用点O是ABC的外心，可得BDAC即可得出解答：解：如图所示，且x+2y=1，=，=，取AC的中点D，则，又点O是ABC的外心，BDAC在RtBAD中，=当x=0时，此时ABBC，y=0时，无解综上可得：cosBAC=或故答案为：或点评：本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题三、解答题（本题有5小题，共66分）17（12分）已知（，），sin=（1）求cos2的值；（2）求cos（2）的值考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦 专题：三角函数的求值分析：（1）利用余弦的倍角公式直接求得；（2）求出cos，再由两角差的余
21、弦公式求值解答：解：（1）cos 2=12sin2 （3分）=12=，（5分）（2）方法一：因为（，），sin =，cos 0所以cos =（7分）Sin 2=2sin cos =2=，（9分）所以cos（2）=coscos 2+sinsin 2=+=（12分）方法二：由，2（，2），sin20sin2=（9分）所以cos（2）=coscos 2+sinsin 2=+=（12分）点评：本题考查了三角函数的化简求值；关键是熟练运用三角函数的倍角公式以及18（12分）如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长考点：余弦定
22、理的应用 专题：解三角形分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论解答：解：（1）在ABC中，cosADC=，sinADC=，则sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=（2）在ABD中，由正弦定理得BD=，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB22ABBCcosB=82+5228=49，即AC=7点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大19（14分）已知向量=（sin，），=（cos，cos2），f（x）=（I）若f（x）=0，求sin（+x）值；（II）在ABC中，角A，B，C的对
23、边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的最大值及相应的角A考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值；平面向量及应用分析：（I）利用数量积运算性质、倍角公式、诱导公式即可得出；（II）由（2ac）cosB=bcosC，利用正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，利用两角和差的正弦公式、诱导公式可得2sinAcosB=sinA，即可得出再利用正弦函数的单调性即可得出解答：解：（I）=，f（x）=0，（II）（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosBs
24、inCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C），A+B+C=，sin（B+C）=sinA，且sinA0，0B，当时，f（A）取得最大值点评：本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、诱导公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=2x2+mx2m3（1）若函数在区间（，0）与（1，+）内各有一个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）（3m+1）x3m11在x（，+）上恒成立，求实数m的取值范围考点：二次函数的性质；函数恒成立问题；函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：（1）由f（
25、x）=2x2+mx2m3图象开口向上，且在区间（，0）与（1，+）内各有一零点，故，解得实数m的取值范围；（2）解法一：若不等式f（x）（3m+1）x3m11在x（，+）上恒成立，则2x2（2m+1）x+m+80在x（，+）上恒成立，构造函数利用二次函数的图象和性质，可得答案；解法二：若不等式f（x）（3m+1）x3m11在x（，+）上恒成立，则m，构造函数，结合对勾函数的图象和性质求出最值，可得答案解答：解：（1）由f（x）=2x2+mx2m3图象开口向上，且在区间（，0）与（1，+）内各有一零点，故，（3分）即，（4分）解得m1，即实数的取值范围为（1，+）；（6分）（2）方法一：不等式f
26、（x）（3m1）x3m11在上恒成立2x2+mx2m3（3m1）x3m112x2（2m+1）x+m+80（7分）取对称轴当m0时，对称轴g（x）在上单调递增，g（x）g（2）=80，故m0满足题意（9分）当m0时，对称轴又g（x）0在上恒成立，故=（2m+1）28（m+8）=4m24m63=（2m+7）（2m9）0解得：，（12分）故（13分）综上所述，实数的取值范围为（14分）方法二：不等式f（x）（3m1）x3m11在上恒成立2x2+mx2m3（3m1）x3m11m（9分）取由结论：定义在（0，+）上的函数，当且仅当时h（x）取得最小值故（12分）当且仅当，即时函数g（x）取得最小值（13
27、分）故，即实数的取值范围为（14分）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度中档21（14分）已知函数f（x）=（）判断函数f（x）在区间（0，+）上的单调性；（）若函数g（x）=f（x）kx2（kR）有四个不同的零点，求实数k的取值范围考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：（）在区间（0，+）上，根据函数f（x）=1，可得函数在区间（0，+）上是增函数（）若函数g（x）=f（x）kx2（kR）有四个不同的零点，则 kx2=0 有四个不同的实数根再分（1）当x=0时、（2）当x0且 x2时、（3）当x0时三
28、种情况，分别求出方程的根，综合可得方程有4个不相等的实数根的条件解答：解：（）在区间（0，+）上，函数f（x）=1，故函数在区间（0，+）上是增函数（）若函数g（x）=f（x）kx2（kR）有四个不同的零点，则 kx2=0 有四个不同的实数根（1）当x=0时，不论k取何值，方程恒成立，即x=0恒为方程的一个实数解（2）当x0且 x2时，方程有实数根，即kx2=0 有实数根，即 kx2+2kx+1=0 有实数根若k=0，则无实数根；若k0，则由=4k24k0，求得k0，或 k1设方程的2个根分别为x1、x2，则x1+x2=2，x1x2=显然，当k1时，方程有2个不等负实数根；当k=1时，方程有2
29、个相等的负实数根；当k0时，方程有2个不等实数根，由x1+x2=2、x1x2=0，可得方程有一个负实数根（正根舍去）（3）当x0时，由方程有实根，方程化为kx2+2kx1=0 若k=0，方程无实根；若k0，当=4k24k0，求得k0，或 k1时，方程有实根，设方程的2个实根分别为x3、x4，则x3+x4=2，x3x4=当k0时，0，方程有2个不相等实根，由x3x4=0 可得这2个根异号，舍去负根，方程有一个正实数根当k1，由x3+x4=2，x3x4=0可得方程没有正实数根综上可得，只有当k1时，方程才有4个不相等的实数根，即函数g（x）有4个不同的零点点评：本题主要考查函数零点和方程的根的关系，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题
