1、4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程三维目标1知识与技能(1)掌握圆的标准方程(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程(3)会判断点与圆的位置关系2过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用(3)增强学生用数学的意识3情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣重点难点重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准
2、方程的难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时化解难点【课前自主导学】课标解读1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点) 2.能根据所给条件求圆的标准方程(重点、难点) 3.掌握点与圆的位置关系(易错点)圆的标准方程【问题导思】1在平面内，圆是如何定义的？【提示】在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？【提示】能圆的标
3、准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.点与圆的位置关系【问题导思】点A(1,1)，B(3,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r2什么关系？【提示】|OA|2，|OC|2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr【课堂互动探究】直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为点A(2,3)，半径为；(2)经过点A(5,1)，
4、圆心为点C(8，3)【思路探究】只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程【自主解答】(1)圆的标准方程为：(x2)2(y3)22.(2)法一圆的半径为|AC|5，圆心为(8，3)圆的标准方程为(x8)2(y3)225.法二设圆的方程为(x8)2(y3)2r2，点A(5,1)在圆上，(58)2(13)2r2，r225，圆的标准方程为(x8)2(y3)225. 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程(2013咸阳高一检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(
5、y3)21 Dx2(y3)21【解析】设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.【答案】A点与圆的位置关系已知一个圆的圆心在点C(3，4)，且经过原点(1)求该圆的标准方程；(2)判断点P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系【思路探究】【自主解答】(1)圆心是C(3，4)，且经过原点，圆的半径r5，圆的标准方程为(x3)2(y4)225.(2)25，P1(1,0)在圆内；5，P2(1，1)在圆上；65，P3(3，4)在圆外判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆
6、心的距离d与半径r的大小关系作出判断：dr，点在圆外；dr，点在圆上；dr，点在圆内(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()Aa1B1a1C0a1 Da1【解析】由题意可知，(1a)2(1a)24，解得a21，解得1a1.【答案】B待定系数法或几何法求圆的标准方程求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程【思路探究】思路一：设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，利用A，B及圆心所在位置求参数a，b，r.思路二：设圆的圆心坐标C(a,2a)，
7、利用|AC|BC|求a及圆的半径思路三：利用圆的几何性质：弦AB的中垂线与直线xy20的交点必为圆心，求圆的标准方程【自主解答】法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分线的斜率为k1，AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直
8、线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.1给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)用待定系数法，其一般步骤如下：根据题意，设出所求圆的标准方程(xa)2(yb)2r2；根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解方程组，求出a，b，r的值；将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易如本题法三2求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常
9、用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线长是半径长(4)圆心与切点的连线必与切线垂直把本例条件“圆心在直线xy20上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题【解】圆心在x轴上，设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a1)21(a1)21，解得a0，圆的半径r，故所求圆的标准方程为x2y22.【易错易误辨析】求圆的标准方程时以“形”代“数”致误已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程【错解】如图，由题设知|AB|8，|AC|5.在RtAOC中，|OC|3.C点坐标(3,0)，所求圆的方程为(
10、x3)2y225.【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致【正解】由题意设|AC|r5，|AB|8，所以|AO|4.在RtAOC中，|OC|3，如图所示圆心坐标为(3,0)或(3,0)所求圆的方程为(x3)2y225.【课堂小结】1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解
11、题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷【当堂达标检测】1圆C：(x2)2(y1)23的圆心坐标是()A(2,1)B(2，1)C(2,1) D(2，1)【解析】结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，1)【答案】B2以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22 Bx2y24C(x2)2(y2)28 Dx2y2【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24.【答案】B3圆心为(1,1)且与直线xy4相切的圆的方程是()A(x1)2(y1)22
12、 B(x1)2(y1)24C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)24【解析】由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22.【答案】A4已知两点P(5,6)和Q(5，4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外【解】由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，圆心M的坐标为(0,1)，半径r|PQ|5.圆的标准方程为x2(y1)250.|AM|r，点C在圆外.【课后知能检测】一、选择题1(2014温州高一检测)点P(2，2)和圆x2y24的位置关系是()A在圆上B在圆
13、外C在圆内 D以上都不对【解析】将点P的坐标代入圆的方程的等号的左边，有(2)2(2)284，故点P在圆外【答案】B2圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是()A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)23C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)29【解析】由题意可知，圆的方程为(x1)2(y2)29，故选D.【答案】D3圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()Ax2(y4)225 Bx2(y4)225C(x4)2y225 D(x4)2y225【解析】由题意，圆的半径r5，则圆的方程为x2(y4)225.【答案】A4已知点A(3，2)，B(5,4)，则以线段AB为直径的圆的
14、方程是()A(x1)2(y1)225 B(x1)2(y1)225C(x1)2(y1)2100 D(x1)2(y1)2100【解析】圆心为AB的中点(1,1)，半径为|AB|5，圆的方程为(x1)2(y1)225.【答案】B5已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252【解析】如图，结合圆的性质可知，圆的半径r.故所求圆的方程为(x2)2(y3)213.【答案】B二、填空题6与圆(x2)2(y3)216同心且过点P(1,1)的圆的方程是_【解析】圆(x
15、2)2(y3)216的圆心为(2，3)，设圆的方程为(x2)2(y3)2r2，由点P(1,1)在圆上可知(12)2(13)2r2，解得r225.故所求圆的方程为(x2)2(y3)225.【答案】(x2)2(y3)2257点P(1，1)在圆x2y2r的外部，则实数r的取值范围是_【解析】由题意得12(1)2r，即r0，故r的取值范围是(0,2)【答案】(0,2)8(2014苏州高一检测)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_【解析】设圆心坐标为(a,0)，易知 ，解得a2.所以圆心为(2,0)，半径长为，所以圆C的方程为(x2)2y210.【答案】(x2)2y
16、210三、解答题9求以直线2xy40与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程【解】令x0得y4，令y0得x2，所以直线与两坐标轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，|AB|，以A为圆心过B的圆方程为x2(y4)220，以B为圆心过A的圆方程为(x2)2y220.10已知点A(1,2)和圆C：(xa)2(ya)22a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：(1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；(3)点A在圆的外部【解】(1)点A在圆内部，(1a)2(2a)22a2，即2a50，解得a2a2，即2a50，解得a.故a的取值范围是.11平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【解】能设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.将A，B，C三点的坐标分别代入得解得圆的方程为(x1)2(y3)25.将D(1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，(11)2(23)2415，即D点坐标适合此圆的方程故A，B，C，D四点在同一圆上.
