1、10.3 几个三角恒等式 第10章 三角恒等变换 学 习 任 务核 心 素 养 1能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式(重点)2能利用所学公式进行三角恒等变换(重点、难点)1通过学习积化和差与和差化积公式，半角公式，降幂公式，培养逻辑推理素养2通过利用公式求值、化简和证明，培养数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 前面，我们学习了两角和与差的正余弦公式：sin()sin cos cos sin，(S()；sin()sin cos cos sin，(S()；cos()cos cos sin sin，(C()；cos()cos cos sin sin，(C()由
2、能得出 sin cos 及 cos sin 吗？由能得出 cos cos 及 sin sin 吗？知识点 1 积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式 sin cos _，cos sin 12sin()sin()，cos cos _，sin sin 12cos()cos()12sin()sin()12cos()cos()(2)和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2，sin sin，cos cos 2cos 2 cos 2，cos cos 2cos 2 sin 22sin 2 sin 21思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin(AB)sin(AB)2sin Acos
3、B()(2)cos(AB)cos(AB)2sin Acos B()(3)cos()cos()cos2 cos2()提示(1)正确(2)cos(AB)cos(AB)2sin Asin B(3)cos()cos()12(cos 2cos 2)答案(1)(2)(3)知识点 2 半角公式与降幂公式 半角公式降幂公式 sin 21cos 2，cos 21cos 2，tan 21cos 1cos，tan 2sin 1cos 1cos sin sin21cos 22，cos21cos 22，tan2 1cos 21cos 2拓展：万能公式：设 tan 2t，则 sin 2t1t2，cos 1t21t2，ta
4、n 2t1t2 2若 cos 35，且 32，则 cos 2_ 55 32，2234，cos21cos 2 55 3若 tan 23，则 cos _ 45 tan221cos 1cos 9，cos 45 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 应用和差化积或积化和差求值【例 1】求 sin220cos250sin 20cos 50 的值 解 原式1cos 4021cos 100212(sin 70sin 30)112(cos 100cos 40)12sin 7014 3412(2sin 70sin 30)12sin 70 3412sin 7012sin 70 34 套用和差化
5、积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟进训练 1(1)sin 20sin 40sin 60sin 80()A12 B 22 C 32 D1(2)已知 cos cos 12，sin sin 13，求 sin()的值(1)C 原式sin 20sin 80sin 40sin 602cos 50sin(30)cos 50sin 60sin 60 32 (2)解 cos cos 12，2sin2 sin2 12 又sin sin 13，2cos2 sin2
6、13 sin2 0，由，得tan2 32，即 tan2 32 sin()2sin2 cos2sin22 cos222tan21tan222321941213 类型 2 万能代换公式的应用【例 2】设 tan 2t，求证：1sin 1sin cos 12(t1)利用万能代换公式，分别用 t 表示 sin，cos，代入待证等式的左端即可证明.证明 由 sin 2tan 21tan22及 cos 1tan221tan22，得 1sin 1tan221tan221t21t2，1sin cos 21tan21tan2221t1t2，故1sin 1sin cos 12(t1)在万能代换公式中不论 的哪种三
7、角函数包括 sin 与 cos 都可以表示成 tan2t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成 t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.跟进训练 2已知 cos 35，且 180270，求 tan2 解 180270，902135，tan20 由 cos 1tan221tan22，得1tan221tan2235，解得 tan224 又 tan20，tan22 类型 3 f(x)asin2xbsin xcos xccos2x 的性质【例 3】求函数 f(x)5 3cos2x 3sin2x4sin xcos x，x4，724 的最小值，并求其单调减区间 解 f(x
8、)5 31cos 2x2 31cos 2x22sin 2x3 32 3cos 2x2sin 2x3 3432 cos 2x12sin 2x 3 34sin 3cos 2xcos 3sin 2x 3 34sin32x 3 34sin2x3，4x724，62x34 sin2x3 12，22 当 2x34，即 x724时，f(x)取最小值为 3 32 2 ysin2x3 在4，724 上单调递增，f(x)在4，724 上单调递减 1(变结论)本例中，试求函数 f(x)(xR)的对称轴方程 解 f(x)3 34sin2x3，令 2x32k，kZ，得 xk2 512，kZ 所以函数 f(x)的对称轴方程
9、为 xk2 512，kZ 2(变条件)本例中，函数解析式变为 f(x)3sin2x6 2sin2x 12(xR)，求 f(x)的单调减区间 解 f(x)3sin 2x 12 1cos 2x 12 232 sin 2x 12 12cos 2x 12 1 2sin2x3 1，由 2k22x32k32，kZ，得 k512xk1112，kZ，f(x)的单调减区间为k512，k1112，kZ 1应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简(2)统一化成 f(x)asin xbcos xk 的形式(3)利用辅助角公式化为 f(x)Asin(x)k 的形式，研究其性质 2
10、对三角函数式化简的常用方法(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用 f(x)asin xbcos x a2b2sin(x)其中tan ba，化为“一个角”的函数 跟进训练 3已知函数 f(x)2cos2x 24 cos2x512 (1)求函数的最小正周期以及对称轴方程；(2)求函数 yf(x)的单调减区间 解 f(x)2cos2x 24 cos2x512 cos2x 12 1cos2x512 sin2x 12 cos2x 12 1 2sin2x 124 1 2sin2x3 1(1)函数的最小正周期 T22 令 2x3k2(kZ)，解得 xk2 12(kZ)，故对称轴方程为 xk2 12(
11、kZ)(2)yf(x)2sin2x3 1 2sin2x3 1，令22k2x322k(kZ)，解得 12kx 512k(kZ)，故函数的单调减区间是 12k，512k(kZ)当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知 tan 12，则 sin 2()A35 B35 C45 D45 D sin 2 2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2212112245 1 2 3 4 5 2若 3x4，则1cos x21cos x2()A 2cos4x2B 2cos4x2 C 2sin4x2D 2sin4x2 1 2 3 4 5 C 因为 3x4，所以32 x22，sin x20 于是
12、1cos x21cos x2cos x2 sin x2 cos x2sin x2 222 cos x2 22 sin x2 2sin4x2 1 2 3 4 5 3已知等腰三角形的顶角的余弦值等于 725，则它的底角的余弦值为()A34 B35 C12 D45 1 2 3 4 5 B 设等腰三角形的顶角为，底角为，则 cos 725 又 22，即 cos cos22 sin 21cos 21 725235 1 2 3 4 5 4化简：sin 15cos 65cos 15sin 65_ tan 20 原式 sin 15sin 25cos 15cos 25 2sin 20cos 52cos 20co
13、s 5 tan 20 5 1 2 3 4 5若 cos 45，是第三象限角，则1tan21tan2_ 12 是第三象限角，2为第二、四象限角，tan20，tan21cos 1cos 1451453，原式131312 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何用 cos 表示 sin22，cos22？提示 sin221cos 2；cos221cos 2 2如何用 tan 表示 sin 2，cos 2？提示 sin 2 2tan 1tan2，cos 21tan21tan2 3如何确定半角公式根号前的符号？提示(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号 2sin 2cos 2tan 2 第一象限第一、三象限，第二象限第一、三象限，第三象限第二、四象限，第四象限第二、四象限，(2)当给出角 的范围时，可先求2的范围，再根据2的范围来确定各三角函数值的符号(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
