1、学案1 函数及其表示 考点1考点2考点3考点4填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测知识网络构建返回目录返回目录返回目录考 纲 解 读 函数及其表示(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法）表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).返回目录1.在高考试题中三种题型都可能出现,以选择、填空为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查.2.对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查.也有可能把定
2、义一种新运算作为考查的目的.3.近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重.考 向 预 测 返回目录1.函数的概念设集合A是一个的数集，对A中的数x,按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),xA.其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的.所有函数值构成的集合叫做这个函数的.2.函数关系的确定(1)因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：和.值域非空任意定义域定义域对应法则返回目录(2)根据函数定义
3、，我们要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：；;3.区间(1)闭区间：满足的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作.(2)开区间：满足的全体实数x的集合，叫做开区间，记作.自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y定义域和对应法则是否给出根据给出的对应法则，axb a,baxb (a,b)返回目录(3)半开半闭区间：满足或的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作或.4.映射(1)映射:设A，B是两个,如果按照某种f,对A中的一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).也可记作f:AB,xf(x).(2)给定一个
4、集合A到集合B的映射,且aA,bB,如果元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的,元素a叫做元素b的.5.函数的表示函数的表示方法:、和.a,b）(a,baxbaxb 原象非空集合对应法则任意象列表法图象法解析法返回目录考点1 函数的概念下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么?(1)f(x)=lgx,g(x)=lgx2;(2)f(x)=x,g(x)=;(3)f(x)=,g(x)=logaax;(4)f(x)=lgx-2,g(x)=lg .【分析】判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.212
5、xxlogaa100 x返回目录【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(2)函数f(x)的值域为(-,+),g(x)的值域为0,+),值域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(3)因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xR),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(4)因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg =lgx-2(x0),所以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数.100 x(1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是
6、同一函数,换言之就是:定义域不同,两个函数也就不同.对应法则不同,两个函数也是不同的.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则.(2)函数的对应法则可以化简,例如题型一(3)(4)中的函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的.(3)当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素.返回目录2x返回目录判断下列各组函数是否为同一函数.(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2)f(x)=,g(x
7、)=x+1;(3)1-x1-x2;xxg(x),1xx f(x)2 返回目录【解析】(1)两函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以它们是同一函数.(2)y=x+1,但x1,而y=x+1中xR,所以它们不是同一函数.(3)函数f(x)=的定义域为x|x0;而函数g(x)=的定义域为x|x-1或x0,它们的定义域不同,所以不是同一函数.1-x1-x21xx xx2 返回目录考点2 映射的概念下列对应是否为从A到B的映射？(1)A=R，B=R，f:xy=;(2)(3)A=x|x0,B=R,f:xy,y2=x;(4)A=平面内的矩形，B=平面内的圆，f:作矩形的外接圆.1x1;a1ba:f,*Nn,
8、n1b|bB,*Na21|aA返回目录【解析】(1)当x=-1时，y值不存在，所以不是映射.(2)A，B两集合分别用列举法表述为 A=2,4,6,由对应法则f:ab=，是映射.(3)不是映射，如A中元素1有两个象1.(4)是映射.【分析】解此题需要明确以下两点：集合A的元素是什么；什么是A到B的映射.,41,31,211,Ba1欲判断对应法则 f:AB是否是从 A 到 B 的映射，必须做两点工作：明确集合A，B中的元素.根据对应法则判断 A中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定的对应元素.返回目录返回目录设A=0,1,2,4,下列对应法则能构成A到B的映射的是（）A.f:xx3-1 B.f:
9、x(x-1)2C.f:x2x-1 D.f:x2xC(由映射的定义知C满足题意.故应选C.),0,1,2,6,821BC考点3 求函数解析式根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2 =3x;(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).返回目录;x1xx1xf22 x1f【分析】(1)可用配凑法.(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找 x2+3x+1与x-2的对应关系.(3)因考虑到x与的倒数关系,可通过解方程组来求解析式.(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.x1返回目录【解
10、析】(1)因又-2或2,则f(x)=x2-2,x(-,-2)(2,+).22 x1xx1xx1xf22x1x x1x 返回目录(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,xR.(3)由已知f(x)+2f =3x.以代替中的x,得f +2f(x)=.由解得f(x)=-x(x0).(4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x=.f(t)=9 -6 +5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.f(x)=x2-4x+8.x1x1x1x3x231-t231-t31-t返回目录 解法二:配凑法.f(3x+1)
11、=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,f(x)=x2-4x+8.解法三:待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.f(3x+1)=9x2-6x+5,9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9 a=1 6a+3b=-6 b=-4a+b+c=5c=8,f(x)=x2-4x+8.比较两端系数,得返回目录(1)求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式.(2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致.例如:已知f(
12、cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此处应有|x|1.(3)求解析式的几种常见方法:代入法即已知f(x),g(x),求f(g(x)用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;换元法已知f(g(x),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x)中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x)的表达式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素);返回目录待定系数法当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f
13、(x)=ax+b,(a0)从而根据题意列出恒等式,确定a,b的值.解:设f(x)=ax+b,则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;方程组法方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法.在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.解:f(x)+2f(-x)=x,用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x.联立消去f(-x
14、),即得f(x)=-x.返回目录根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式：(1)f(+1)=x+2 ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.返回目录xx(1)令t=+1,t1,x=(t-1)2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1,+).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.4a=4 a=14a+2b=2,b=-1,又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.返回目录x【解析】返回目录考点4 分段函数【分析】
15、先求出f(0),再把f(0)的值作为自变量求出f(f(0).2x+1,x1x2+ax,x1,若f(f(0)=4a,则实数a等于()A.B.C.2 D.921542010年高考陕西卷已知函数f(x)=返回目录2x+1,x1 x2+ax,x1.01,f(0)=20+1=2.f(0)=21,f（f(0)）=22+2a=4a,a=2.故应选C.【解析】f(x)=分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点.返回目录返回目录如图，OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0t2)截这
16、个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1)求函数y=f(t)的解析式，并指明它的定义域;(2)求函数y=f(t)的值域.返回目录（1）当0t1时，所截图形是一个直角三角形，其面积f(t)=t2tan60=t2;当1t2时，所截图形是一个四边形，它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即f(t)=2 -(2-t)(2-t)tan60=-(2-t)2;当t=2时，所截图形即OAB，f(t)=.t2，0t1.-（2-t）2,1t2.此函数的定义域为(0,2.212321321323323323综上,f(t)=【解析】返回目录（2）当0t1时，0t2 ;当1t2
17、时，-(2-t)2 .故函数f(t)的值域为(0,.23232323333正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键.函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于:(1)它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元素只有一个函数值；（3）定义域中的每个元素一定有函数值.确定一个函数需要三个要素:定义域；对应法则；值域.对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数.对于 f(x)，可以理解为根据对应法则f，自变量x对应的函数值；也可以理解为根据对应法则 f 产生的函数f(x).表示函数时，前面一般加“函数”二字.列返回目录表法、图象法和解析法是函数最常用的三种表 示方法，函数的图 象是直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用.(4)对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体.对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式;解决分段函数的有关问题的关键是“分段归类”.即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题.返回目录