1、 数学(理科)第卷(共60分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A BC D2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上为增函数的是( )A B C D3.在中,若,则( )A B C或-1 D或04.圆与直线的位置关系是( )A相离 B相交或相切C相交 D相交,相切或相离5.已知实数,则“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.等差数列中,如果,那么的最大值为( )A2 B4 C8 D167.已知双曲线的一条渐近线过点,则此双曲线的一个焦点坐标是( )
2、A B(2,0) C D8.已知奇函数,当时,.给处下列命题:; 对,;,使得; ,使得.其中所有正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3第卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每题5分,满分30分,将答案填在题中横线上.9.在复平面内,复数对应的点到坐标原点的距离为_.10.某三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是正方形,则该三棱锥最长棱的长是_.11.在中,那么_.12.已知实数满足若当,时,取得最小值,则的取值范围是_.13.已知关于的方程有2个不相等的实数根,则的取值范围是_.14.小明在学校组织了一次访谈,全体受访者中,有6人是学生,4人是初中生,2人是教师;5人是乒乓球爱好
3、者,2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知,此次访谈中受访者最少有_人;最多有_人.三、解答题 :本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数.()求函数的单调递减区间;()求函数在区间上的最大值及最小值.16. (本小题满分13分)已知数列满足,且,设.()求数列的通项公式;()求数列的前项和.17. (本小题满分13分)已知函数.()当时,求证:函数的图像关于点对称;()当时,求的单调区间.18. (本小题满分14分)已知直角梯形中,如图1所示,将沿折起到的位置,如图2所示.()当平面平面时,求三棱锥的体积;()在图2中,为的中点,若
4、线段,且平面,求线段的长;()求证:.19. (本小题满分13分)已知椭圆.()若,求椭圆的离心率及短轴长;()如存在过点,且与椭圆交于两点的直线,使得以线段为直径的圆恰好通过坐标原点,求的取值范围.20. (本小题满分14分)已知函数.()若曲线在点处的切线经过点(0,1),求实数的值;()求证:当时,函数至多有一个极值点;()是否存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.北京市2016-2017学年高三年级入学定位考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
5、8. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11.27 12. 13. 14.8,15三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.(本小题满分13分)解:() ()由得,所以.所以当时,取得最小值;当时,取得最大值1.13分16. (本小题满分13分)解:()因为,所以是等比数列,所以.因为,所以.6分()因为,所以当时,.当时,.所以13分17. (本小题满分13分)()证明:当时,.将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像.因为对任意,且,所以函数是奇函数.所以函数的图像关于原点对称.所以函数的图像关于点对称.7分()解:由,得当时,.所以的递减区间是.当时,及
6、随的变化情况如下表:所以的单调递增区间是,单调递减区间是,.当时,及随的变化情况如下表:所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,.13分18. (本小题满分14分)(1)解:当平面平面时,因为,且平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以.因为在直角梯形中,所以,.所以.又因为,所以,所以.所以.所以三棱锥的体积等于.4分()解:取的中点,连接,如右图所示.又因为为的中点,所以,且.又因为,所以.所以,共面.因为平面,平面,且平面平面,所以.又因为,所以四边形是平行四边形.所以.10分()证明:在图1中连接,交于.因为,所以,所以.因为,所以.所以.所以将沿折起到的位置后,仍有,如图2所示.又
7、因为,所以平面.又因为平面,所以.14分19. (本小题满分14分)解:()因为,所以,.所以,.所以椭圆的离心率为,短轴长为.3分()当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,由得.所以,.因为以线段为直径的圆恰好过原点,所以.所以,即.所以.即.由,所以.当直线的斜率不存在时,因为以线段为直径的圆恰好通过坐标原点,所以.所以,即.综上所述,的取值范围是.13分20. (本小题满分14分)()解:由,得.所以,.所以由得.3分()证明:当时,当时,函数在上单调递增,无极值;当时,令,则.由得,则当,即时,在上单调递减,所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值
8、点.当,即时,及随的变化情况如下表:因为,所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.综上,当时,函数在定义域上至多有一个极值点.8分()存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是.由()可知当时,函数至多有一个极值点,不可能同时存在极大值与极小值.当时,无极值;当时,及随的变化情况如下表:下面研究在上的极值情况:因为,所以存在实数,使得,且时,即,在上递减;时,在上递增;所以在上的极小值为,无极大值.下面考查在上的极值情况:当时,;当时,令,则,令,因为在上递减,所以,即.综上,因为,所以存在实数,且时,即,在上递减;时,在上递增;所以在上的极大值为,无极小值.又因为,且,所以,所以,当且仅当时,函数在定义域上的极小值大于极大值.14分