1、学案3 推理与证明考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考 纲 解 读 推理与证明 1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.返回目录考 向 预 测 1.推理在高考中虽然很少刻
2、意去考查，但实际上对推理的考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一.2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容.3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处.4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归纳猜想证明”这一基本思想方法.返回目录1.合情推理的基本概念(
3、1)从结构上说，推理一般是由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做；一部分是由已知推出的判断，叫做.前提结论返回目录(2)合情推理的主要形式有和.2.演绎推理的基本概念(1)根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做.(2)把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做.3.直接证明的有关概念(1)直接证明是从命题的或出发，根据已知的定义、公理、定理，推证结论的真实性.归纳推理类比推理演绎推理完全归纳推理条件结论直接返回目录(2)常用的直接证明方法有与.(3)综合法是从推导到的思维方法，而分析法是一种从追溯到的思维方法.具体地说，综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后
4、达到待证结论.分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.综合法分析法原因结果结果产生这一结果的原因充分返回目录4.间接证明的相关概念（1）一般地，由证明pq转向证明：qrt,t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.（2）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与矛盾等.公认的简单事实假设数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论返回目录5.数学归纳法的概念 设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果（1)证明起始命题成立;（2）在假设成立的前提下，推出pk+1也成立，那么
5、可以断定，pn对一切正整数（或自然数）成立.6.数学归纳法证明命题的步骤(1)(归纳奠基）证明当n取第一个值（例如或）时，命题成立.(2)（归纳递推）假设(kn0,kN+)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.n=k+1 p1(或p0)pkn=n0 n0=1 n0=2 n=k 返回目录【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点1 归纳推理在数列an中，a1=1,an+1=(nN+),猜想这个数列的通项公式.nna22a+返回目录【解析】an中，a1=1,a2=a3=a4=,所以猜想an的
6、通项公式an=.证明如下：因为a1=1,an+1=,所以即所以数列是以=1为首项,公差为的等差数列.所以.所以通项公式an=.,32a22a11=+,4221a22a22=+52a22a33=+1n2+.21+a1=2aa+2=a1nnn1+n,21a1-a1n1+n=a1n1a12121+n21=211)-(n+1=a1n1n2+nna22a+返回目录通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过
7、观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出 一 个 明 确 表 达 的 一 般 性 命 题（猜 想）.返回目录设f(n)=n2+n+41,nN*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.返回目录f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=72,f(6)=62+6+41=83,f(7)=7
8、2+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数,当n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141.f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.返回目录在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证:，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的
9、对比猜想结论，并予以证明.考点2 类比推理222AC1+AB1+AD1返回目录【证明】如图所示，由射影定理得AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC.又BC2=AB2+AC2,猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,.ACABBC=CBDBCDCBBC=BDDC1=AD122222.AC1AB1ACABACABAD12222222+=+=.AC1AB1AD1222+=返回目录AE平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD,AB平面ACD，而AF面ACD,ABAF.而RtABF中，AEBF,在RtACD中，AFCD,故猜想
10、正确.AD1AC1AB1AE12222+=222AF1AB1AE1+=222AD1AC1AF1+=.AD1AC1AB1AE12222+=返回目录根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比
11、的两类对象.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.返回目录2009年高考江苏卷在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为.【答案】1:8【解析】两个正三角形是相似的三角形,它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为1:8.返回目录在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.考点3 演绎推理【分析
12、】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.返回目录【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提所以ABD是直角三角形 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半大前提而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.2121返回目录演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提
13、供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.返回目录证明:根据题意,0 ,0 ,0+,又tan=,tan=,tan(+)=0+0,故只要证考点4 分析法证明已知a0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.2.-a1+a2-a1+a222,-a1+a2-a1+a22.2a1+a2a1+a22+.)2a1+a2)a1+a(
14、2222+(返回目录从而只要证只要证即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.2a1+a222)1(22a12a4a1+a4a1+a222222+aa)1(2a1+a222aa+)12(2a1+(a42222aa+)即返回目录分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.返回目录已知0a1,0b1,00,b0,c0,要证,只需证1+ab+bc+caa+b+c+
15、abc,即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0.1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)(1-b)(1-c),且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0,1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0成立,.1abccbacabcab1+1abccbacabcab1+返回目录【分析】不等式中的a,b,c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式性质推导出证明的结论.考点5 综合法证明已知a,b,c0.求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).31返回目录【证明】a2+b22ab,a0,b0,(a2+b2)(
16、a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).31返回目录（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条
17、件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法.（2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.返回目录在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.返回目录证明:锐角三角形ABC中，A+B,A-B.0-BA.又在（0,）内正弦函数是单调递增函数,sinAsin（-B）=cosB.即sinAcosB.同理，sinBcosC,sinCcosA.由+得sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.222222返回目录【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种
18、形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点6 反证法若x,y都是正实数，且x+y2,求证：或中至少有一个成立.2yx1+22y1+返回目录【证明】假设,都不成立,则有和同时成立.因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x.两式相加，得2+x+y2x+2y.所以x+y2.这与已知条件x+y2矛盾.因此,中至少有一个成立.2yx1+22y1+2yx1+22y1+2yx1+22y1+返回目录（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面.反证法常
19、常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.返回目录已知数列an的前n项的和Sn满足Sn=2an-3n(nN*).(1)求证：an+3为等比数列,并求an的通项公式;(2)数列an是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.返回目录(1)证明:Sn=2an-3n(nN*),a1=S1=2a1-3,a1=3.Sn=2an-3nSn+1=2an+1-3(n+1),得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,an+1
20、+3=2(an+3),an+3是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.an+3=62n-1,即an=3(2n-1).又由 返回目录(2)假设数列an中存在三项ar,as,at(rst),它们可以构成等差数列.由(1)知arasat,则2as=ar+at,6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即2s+1=2r+2t,2s+1-r=1+2t-r,(*)r,s,t均为正整数且rs+成立.返回目录证明:当n=2时,左=,右=,左右,不等式成立.假设n=k(k2且kN*)时,不等式成立,即,那么当n=k+1时，34311=+25212k)1-2k11()51)(131(1+,21)1(212
21、21232122384122484122221222212k1-1)-(2k1)11-2k11()51)(131(122+=+=+=+=+kkkkkkkkkkkkkkn=k+1时，不等式也成立.由知,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.返回目录1.归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.2.分析法要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.3.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用.4.数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.返回目录
