1、6.2.4向量的数量积课后训练巩固提升一、A组1.已知|a|=6,|b|=2,a与b的夹角为60,则ab等于()A.6+3B.6-3C.6D.7解析:ab=|a|b|cos60=62cos60=6.答案:C2.若向量a与b的夹角为60,则向量-a与-b的夹角是()A.60B.120C.30D.150解析:平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60.答案:A3.已知向量m,n的夹角为6,且|m|=3,|n|=1,则|m-n|=()A.4B.3C.2D.1解析:|m-n|2=m2-2mn+n2=3-23132+1=1,|m-n|=1.答案:D4.已知
2、|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为32b,则ab=()A.3B.92C.32D.272解析:设向量a,b的夹角为.a在b上的投影向量为|a|cosb|b|=|a|cos|b|b,|a|cos|b|=32,即|a|cos=92.ab=|a|b|cos=392=272.答案:D5.设a,b,c是任意三个非零向量且互不共线,下列各式正确的个数是()(ab)2=a2b2;aba2=ba;(ab)c-(ac)b=0; |ab|=|a|b|.A.0B.1C.2D.4解析:中错误地迁移了实数的乘方运算,事实上,由ab=|a|b|cos得(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2=a2
3、b2cos2,其中=,只有当cos2=1,即ab时(ab)2=a2b2才成立,而当cos21时,a2b2cos2a2b2,即(ab)20).若a与b的夹角为60,则k=.解析:由|ka+b|=3|a-kb|,得k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2,即(k2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.|a|=1,|b|=1,ab=11cos60=12,k2-2k+1=0,k=1.答案:16.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若ACBE=1,则AB的长为.解析:因为BE=BC+CE=AD-12AB,所以ACBE=(AB+AD)AD-12AB=AD2
4、+12ADAB-12AB2=1+121|AB|cos60-12|AB|2=1,所以14|AB|-12|AB|2=0,解得|AB|=12.答案:127.已知|a|=1,ab=12,(a-b)(a+b)=12,求:(1)a与b的夹角;(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.解:(1)(a-b)(a+b)=12,|a|2-|b|2=12.|a|=1,|b|=|a|2-12=22.设a与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=12122=22.0180,=45.(2)(a-b)2=a2-2ab+b2=12,|a-b|=22.(a+b)2=a2+2ab+b2=52,|a+b|=102.设a-b与a+b的夹角为,则cos=(a-b)(a+b)|a-b|a+b|=1222102=55.8.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数,使a+b与a-2b垂直?解:若(a+b)(a-2b),则(a+b)(a-2b)=0,a2-2b2-2ab+ab=0.a+b+c=0,c=-a-b,则|c|2=|a+b|2=9+25+2ab=49,ab=152.9-225-2152+152=0.=-8512.存在=-8512,使得a+b与a-2b垂直.
