1、 高三一轮（理） 3.7 解三角形【教学目标】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状， 求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。【重点难点】 1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲再现: 考试内容 要求层次了解 理解 掌握 正余弦定理及解三角形 北 京 近 五 年 主 要 考 查考纲传真1.掌握正弦定理
2、、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3.命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合真题再现;2.3.知识梳理：知识点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_Ccos A；cos B；cos
3、C解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第边和其他两个角知识点2在ABC中，已知a，b和A时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解知识点3三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)名师点睛：1必会结论(1)三角形内角和定理：在ABC中，ABC，其变式有ABC，.(2)三角形中的三角函数关系sin(AB)sin C；co
4、s(AB)cos C；sincos；cossin.(3)正弦定理的公式变形.2必知联系在三角形中大角对大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，余弦值则相反，即在ABC中，ABsin Asin Bcos Acos B考点分项突破考点一：利用正、余弦定理解三角形1.若ABC中，AC，A45，C75，则BC_.【解析】B180754560，由正弦定理，得，即，解得BC.2设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.【解析】3sin A2sin B，3a2b.又a2，b3.由余弦定理可知c2a2b22abcos C，c222322231
5、6，c4.跟踪训练1：1.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b()A3 B2 C2 D.【解析】由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4.又bc，b2.2.ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2，求sin A和c的值【解】在ABC中，由cos B，得sin B，因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可得C为锐角，所以cos C，因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c.又ac2，所以c1.归纳：
6、1正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相应变形公式求解(3)相同的元素归到等号的一边，即，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题2利用余弦定理解三角形的步骤(1)(2)考点二: 判断三角形的形状1.设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，且sin2Bsin2C，则ABC的形状为()A等腰三角形 B.锐角三角形C直角三角形 D.等腰直角三角形D等腰直角三角形【解析】(1)由bcos Cccos Basin A得sin Bcos C
7、sin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A，在三角形中sin A0，sin A1，A90，由sin2Bsin2C知bc，综上可知ABC为等腰直角三角形2.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求角A的大小；若sin Bsin C，试判断ABC的形状【解析】(2)由题意知2a2(2bc)b(2cb)c，所以b2c2a2bc.由cos A，得A60.A60，BC120，C120B，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，整理得sin(B30)，sin(B30)1，B为三角形的内
8、角，所以B3090，即B60，C60，ABC的形状为等边三角形跟踪训练2：1.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，ABC为等腰或直角三角形
9、.2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形【解析】由cos A得cos A，所以sin Csin Bcos A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0，所以cos B0，即B为钝角，所以ABC为钝角三角形归纳：判断三角形形状的两种常用途径1化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状2化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论考点三:与三角形面积有关的问题1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已
10、知tan2.求的值；若B，a3，求ABC的面积【解析】由tan2，得tan A，所以.由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin，得sin C.设ABC的面积为S，则Sabsin C9.跟踪训练3：1在ABC中，AB，AC1，B，则ABC的面积是()A. B. C.或 D.或【解析】由正弦定理知，sin C，C或，当C时，A，SABACsin A；当C时，A，SABACsin A.【答案】D2ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求A
11、BC的面积【解】(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A.由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为absin C.归纳：三角形面积公式的应用原则1对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化考点四: 解三角形的应用 命题
12、角度1测高度问题1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】100命题角度2测距离问题2如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸选取相距40米的C，D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60，则A，B间距离为_米【解析】依题设，BCD90，
13、BDC45，CD40，在RtBCD中，BD40米在ACD中，ADC6045105，所以DAC180(10530)45，由正弦定理，得，AD20.在ABD中，ADB60，由余弦定理，得AB2AD2DB22ADDBcosADB(20)2(40)222040cos 602 400.所以AB20(米)【答案】20 命题角度3测量角度问题3.如图位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120
14、，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.【答案】跟踪训练4：(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()2如图为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山
15、高MN_m.【解析】根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)【答案】150归纳：解三角形应用问题的基本思路关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中
16、注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.利用正、余弦定理解三角形2.判断三角形的形状3.与三角形面积有关的问题4.解三角形的应用 学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
