1、第 1 讲 三角函数的图象与性质1.(2016四川改编)为了得到函数 ysin2x3 的图象，只需把函数 ysin 2x 的图象上所有的点向_平行移动_个单位长度.答案 右 6解析 由题意可知，ysin2x3 sin2x6，则只需把 ysin 2x 的图象向右平移6个单位.2.(2016课标全国甲改编)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为_.答案 xk2 6(kZ)解析 由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y2sin2x6，由 2x6k2，kZ，得函数的对称轴为 xk2 6(kZ).3.(2016课标
2、全国乙改编)已知函数 f(x)sin(x)0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为_.答案 9解析 因为 x4为 f(x)的零点，x4为 f(x)的图象的对称轴，所以44 T4kT，即24k14T4k142，所以 4k1(kN)，又因为 f(x)在18，536 上单调，所以536 18 12T222，即 12，由此得 的最大值为 9.4.(2016江苏)定义在区间0,3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_.答案 7解析 在区间0,3上分别作出 ysin 2x 和 ycos x 的简图如
3、下：由图象可得两图象有 7 个交点.1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1.三角函数：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.同角关系：sin2cos21，sin cos tan.3.诱导公式：在k2，kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.例 1(1)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y2
4、1 逆时针方向运动23 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为_.(2)已知 是第三象限角，且 sin 2cos 25，则 sin cos _.答案(1)(12，32)(2)3125解析(1)设 Q 点的坐标为(x，y)，则 xcos23 12，ysin23 32.Q 点的坐标为(12，32).(2)由 sin 2cos 25及 sin2cos21 得，(2cos 25)2cos215cos285cos 21250cos 35或 cos 725，因为 是第三象限角，所以 cos 725，从而 sin 2425，sin cos 3125.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮
5、、水车等)，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪演练 1(1)已知点 Psin 34，cos 34 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为_.(2)如图，以 Ox 为始边作角 (00，cos 34 0或向右0倍纵坐标不变ysin(x)纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变yAsin(x).例 2(1)(2015山东改编)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向
6、_平行移动_个单位长度.(2)函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则 f(3)的值为_.答案(1)右 12(2)1解析(1)ysin4x3 sin4x 12，要得到 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位.(2)根据图象可知，A2，3T4 1112 6，所以周期 T，由 2T 2，又函数过点(6，2)，所以有 sin(26)1，而 00，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找
7、准第一个零点的位置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.跟踪演练 2(1)已知函数 f(x)sin x(x0，)和函数 g(x)12tan x 的图象交于 A，B，C 三点，则ABC 的面积为_.(2)(2015陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6xk，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.答案(1)34 (2)8解析(1)由题意得sin x12tan xsin x0 或 cos x12，因为 x0
8、，所以 x0，x，x3，三点为(0,0)，(，0)，(3，32)，因此ABC 的面积为12 32 34.(2)由题干图易得 ymink32，则 k5.ymaxk38.热点三 三角函数的性质1.三角函数的单调区间：ysin x 的单调递增区间是2k2，2k2(kZ)，单调递减区间是2k2，2k32(kZ)；ycos x 的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x 的递增区间是(k2，k2)(kZ).2.yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk2(kZ)求得.yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当
9、 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk(kZ)求得.yAtan(x)，当 k(kZ)时为奇函数.例 3(2015重庆)已知函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23 上的单调性.解(1)f(x)sin2x sin x 3cos2xcos xsin x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(2)当 x6，23 时，02x3，从而当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增；当22x3，即512x23 时，f(x
10、)单调递减.综上可知，f(x)在6，512 上单调递增，在512，23 上单调递减.思维升华 函数 yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 yAsin(x)B 的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.跟踪演练 3 设函数 f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x0，6时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程.解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos
11、 2xsin 2xa 2sin(2x4)1a，则 f(x)的最小正周期 T22，且当 2k22x42k2(kZ)，即 k38 xk8(kZ)时，f(x)单调递增.所以k38，k8(kZ)为 f(x)的单调递增区间.(2)当 x0，6时42x4712，当 2x42，即 x8时，sin(2x4)1.所以 f(x)max 21a2a1 2.由 2x4k2(kZ)，得 xk2 8(kZ)，故 yf(x)的对称轴方程为 xk2 8(kZ).1.已知函数 f(x)sinx5(xR，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2.为了得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 yf(x)的图象向_平移_个单位长度
12、.押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错.答案 左 320(答案不唯一)解析 先求出周期确定，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解.由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，则其最小正周期 T，所以 2T 2，即 f(x)sin2x5，g(x)cos 2x.把 g(x)cos 2x 变形得 g(x)sin2x2 sin2(x320)5，所以要得到函数 g(x)的图象，只要将 f(x)的图象向左平移320个单位长度.2.如图，函数 f(x)Asin(x)(其中 A0，0，|2)与坐标轴的三个交点 P、Q
13、、R 满足P(2,0)，PQR4，M 为 QR 的中点，PM2 5，则 A 的值为_.押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A，考查了数形结合思想.答案 1633解析 由题意设 Q(a,0)，R(0，a)(a0).则 M(a2，a2)，由两点间距离公式得，PM2a22a222 5，解得 a18，a24(舍去)，由此得，T2826，即 T12，故 6，由 P(2,0)得 3，代入 f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(6x3)，从而 f(0)Asin(3)8，得 A1633.3.已知函数 f(x)2asin xcos x2 3cos2x 3(a0，0)的最
14、大值为 2，x1，x2 是集合MxR|f(x)0中的任意两个元素，且|x1x2|的最小值为 6.(1)求函数 f(x)的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 yg(x)的图象，当 x(1,2时，求函数 h(x)f(x)g(x)的值域.押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式.第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模
15、式.解(1)f(x)2asin xcos x2 3cos2x 3asin 2x 3cos 2x.由题意知 f(x)的最小正周期为 12，则2212，得 12.由 f(x)的最大值为 2，得 a232，又 a0，所以 a1.于是所求函数的解析式为f(x)sin 6x 3cos 6x2sin6x3，令6x32k(kZ)，解得 x16k(kZ)，即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x16k(kZ).(2)由题意可得 g(x)2sin6(x2)32sin 6x，所以 h(x)f(x)g(x)4sin6x3 sin 6x2sin26x2 3sin 6xcos 6x1cos 3x 3sin 3x12sin
16、3x6.当 x(1,2时，3x6(2，2，所以 sin3x6(1,1，即 12sin3x6(1,3，于是函数 h(x)的值域为(1,3.A 组 专题通关1.若 0sin 22，且 2，0，则 的取值范围是_.答案 2，74 54，解析 根据题意并结合正弦线可知，满足2k，2k4 2k34，2k(kZ)，2，0，的取值范围是2，74 54，.2.函数 f(x)cos3x3 的图象向左平移3 个单位长度后得到的图象对应的函数为_.答案 ycos3x23解析 函数 f(x)cos3x3 的图象向左平移3个单位长度后所得图象的解析式为 ycos3(x3)3cos(3x23).3.函数 y2sin(x6
17、 3)(0 x9)的最大值与最小值之差为_.答案 2 3解析 因为 0 x9，所以3x6 376，因此当x6 32时，函数 y2sin(x6 3)取得最大值，即 ymax212.当x6 33时，函数 y2sin(x6 3)取得最小值，即 ymin2sin(3)3，因此 y2sin(x6 3)(0 x9)的最大值与最小值之差为 2 3.4.已知角 的终边经过点A(3，a)，若点 A 在抛物线 y14x2的准线上，则 sin _.答案 12解析 由条件，得抛物线的准线方程为 y1，因为点 A(3，a)在抛物线 y14x2 的准线上，所以 a1，所以点 A(3，1)，所以 sin 13112.5.已
18、知函数 f(x)sin(2x3)(0 x)，且 f()f()12()，则 _.答案 76解析 由 0 x 得32x373，由 f()f()12且，不妨设，则 2356，23136，解得 4，1112，则76.6.已知 sin cos 713，(2，0)，则 tan _.答案 125解析 由 sin cos 713得(sin cos)2 49169，所以 sin cos 60169，因为(2，0)，所以 sin 0，由sin cos 713，sin cos 60169，得sin 1213，cos 513，所以 tan sin cos 125.7.已知函数 f(x)3sin(x6)(0)和 g(x
19、)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0，2，则 f(x)的取值范围是_.答案 32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故 2，所以f(x)3sin(2x6)，那么当 x0，2时，62x656，所以12sin(2x6)1，故 f(x)32，3.8.如图，已知 A，B 分别是函数 f(x)3sin x(0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB2，则该函数的周期是_.答案 4解析 由题意可设 A(2，3)，B(32，3)，又AOB2，所以 232 3(3)02T24.9.已知函数 f(x)cosx4.(1)若 f()35，其中43
20、4，求 sin4 的值；(2)设 g(x)f(x)fx2，求函数 g(x)在区间6，3 上的最大值和最小值.解(1)因为 f()cos4 35，且 040，函数 f(x)2asin2x6 2ab，当 x0，2 时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间.解(1)x0，2，2x66，76.sin2x6 12，1，2asin2x6 2a，a.f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin2x6 1，g(x)fx2 4sin2x76 14sin2x6 1，又由 lg g
21、(x)0，得 g(x)1，4sin2x6 11，sin2x6 12，2k62x62k56，kZ，其中当 2k62x62k2，kZ 时，g(x)单调递增，即 kxk6，kZ，g(x)的单调增区间为k，k6，kZ.又当 2k22x62k56，kZ 时，g(x)单调递减，即 k6xk3，kZ，g(x)的单调减区间为k6，k3，kZ.B 组 能力提高11.已知函数 f(x)2sin2x6，把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移6个单位，得到函数 g(x)的图象.关于函数 g(x)，给出以下四个命题，其中正确的是_.在4，2 上是增函数；其图象关于直线 x4对称；函数 g(x)是奇函数；当 x6，23
22、 时，函数 g(x)的值域是2,1.答案 解析 因为 f(x)2sin2x6，把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移6个单位，得 g(x)fx62sin2(x6)62sin(2x2)2cos 2x.画出 g(x)的部分图象，如图所示.由图可知，函数 g(x)在4，2 上是减函数，错误；其图象的一个对称中心为(4，0)，错误；函数 g(x)为偶函数，错误；又 g 6 2cos26 1，g23 2cos223 1，g 2 2cos22 2，所以当 x6，23 时，函数 g(x)的值域是2,1，正确.12.(2015课标全国)函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间
23、为_.答案 2k14，2k34，kZ解析 由图象知，周期 T25414 2，22，.由 1422k，kZ，不妨取 4，f(x)cosx4.由 2kx42k，kZ，得 2k14x0)的部分图象如图所示，点 A，B 是最高点，点 C 是最低点，若ABC是直角三角形，则 f(12)_.答案 22解析 由已知得ABC 是等腰直角三角形，且ACB90，所以12ABf(x)maxf(x)min1(1)2，即 AB4，而 TAB24，解得 2.所以 f(x)sinx2，所以 f(12)sin4 22.14.已知函数 f(x)Asin(x4)(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为 22，f(
24、x)的最大值为 2g(174).(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)设 h(x)32f2(x)2 3cos2x，当 xa，3)时，h(x)有最小值为 3，求 a 的值.解(1)由题意，得222，所以 1.又 A2g(174)2tan 174 2tan 42，所以 f(x)2sin(x4).令 2k2x42k2(kZ)，得 2k34 x2k4(kZ)，故 f(x)的单调递增区间为2k34，2k4(kZ).(2)因为 h(x)32f2(x)2 3cos2x324sin2(x4)2 3cos2x3(sin xcos x)22 3cos2x33sin 2x 3(cos 2x1)3 32 3sin(2x6)，又 h(x)有最小值为 3，所以有 3 32 3sin(2x6)3，即 sin(2x6)12.因为 xa，3)，所以 2x62a6，56)，所以 2a66，即 a6.
