1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)_ 边界直线，把边界直线画成虚线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)_ 边界直线，把边界直线画成实线 不包括包括(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半
2、平面的点，如果其坐标满足AxByC0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足_ AxByC0(3)可在直线AxByC0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的_就可以判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的_ 符号公共部分2线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的_不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求_或_的函数 一次最大值最小值线性目标函数 关于x，y的_解析式 可行解 满足_的解 可行域 所有_组成的集合 最优解 使目标
3、函数取得_或_的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的_或_问题 一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域；对于AxByC0或AxByC0，则有 当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方(3)最优解和可行解的关系：最优
4、解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)不等式x2y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域【答案】(1)(2)(3)(4)1下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0，0)B(1，1)C(1，3)D(2，3)【解析】把各点的坐标代入可得(1，
5、3)不适合，故选C.【答案】C 2(教材改编)不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()【解析】用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.【答案】C 3若实数 x，y 满足不等式组xy1，xy1，3xy3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A3 B.52C2 D2 2【解析】因为直线xy1与xy1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，【答案】C 易得 A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|2，|AC|2 2，其面积为12|AB|AC|2.4(2015北京)若 x，y 满足xy0，xy1，x0，则 zx2y 的最大值为()A0 B1C.32D2【解析】可行域如图
6、所示目标函数化为 y12x12z，当直线 y12x12z 过点 A(0，1)时，z 取得最大值 2.【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z2x3y5经过点A(1，1)时，z取得最小值，zmin2(1)3(1)510.5(2016全国卷)设 x，y 满足约束条件2xy10 x2y10 x1，则z2x3y5 的最小值为_【答案】10 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点 1 不含参数的平面区域问题【例 1】(1)(2016浙江)若平面区域xy30，2xy30，x2y30夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.3
7、 55 B.2C.3 22D.5(2)(2016安徽安庆模拟)若不等式组x1，y3，2xy 10表示的平面区域经过四个象限，则实数 的取值范围是()A(，4)B1，2C(1，4)D(1，)【解析】(1)作出可行域如图 由2xy30，xy30，得 A(2，1)，由xy30，x2y30，得 B(1，2)斜率为 1 的平行直线 l1，l2 分别过 A，B 两点时它们之间的距离最小过 A(2，1)的直线 l1：yx1，过 B(1，2)的直线 l2：yx1，此时两平行直线间的距离 d 22 2.故选 B.【答案】(1)B(2)D(2)由约束条件x1y3，2xy10表示的平面区域经过四个象限，得 10，即
8、 1.实数 的取值范围是(1，)命题点 2 含参数的平面区域问题【例 2】(2016湖南衡阳模拟)若不等式组x0，y2x，kxy10表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为()A.12或15B.12或13C.15或14D.14或12【解析】有两种情形：(1)直角由直线y2x与kxy10形成(如图)2k1，k12.直线 y2x 与12xy10 的交点坐标为25，45，三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，25，45，该三角形的面积 S11212515.(2)直角由直线 x0 与 kxy10 形成(如图)，则 k0.直线 y2x 与y10 交于点12，1，三角形的三个顶点为(0，0)
9、，(0，1)，12，1，该三角形的面积 S21211214.综上所述，三角形的面积为15或14，故选 C.【答案】C【方法规律】(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解 跟踪训练 1(1)不等式组x0，xy3，yx1表示的平面区域为，直线 ykx1 与区域 有公共点
10、，则实数 k 的取值范围为()A(0，3 B1，1C(，3 D3，)(2)(2016汕头模拟)已知约束条件x1，xy40，kxy0表示面积为1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为()A1 B1C0 D2【解析】(1)直线 ykx1 过定点 M(0，1)，由图可知，当直线 ykx1 经过直线 yx1 与直线 xy3 的交点 C(1，2)时，k 最小，此时 kCM2（1）103，因此 k3，即 k3，)故选 D.(2)由于x1与xy40不可能垂直，所以只有可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直 当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求 当x1与kxy0垂直时
11、，k0，检验不符合要求【答案】(1)D(2)A 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值【例3】(2016北京)已知A(2，5)，B(4，1)若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为()A1B3 C7D8【解析】点P(x，y)在线段AB上且A(2，5)，B(4，1)，如图：设z2xy，则y2xz，当直线y2xz经过点B(4，1)时，z取得最大值，最大值为2417.【答案】C 命题点 2 求非线性目标函数的最值【例 4】(1)(2016山东)若变量 x，y 满足xy2，2x3y9，x0，则 x2y2 的最大值是()A4 B9C10 D12(2)(2016 广 州 模
12、拟)若 实 数x，y满 足 约 束 条 件2xy20，2xy40，y2，则xy的取值范围是()A.23，2B.12，32C.32，2D1，2【解析】(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x2y2 表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点 A(3，1)到原点的距离最大，所以 x2y2 的最大值是 10，故选 C.(2)作出不等式组对应的平面区域，如图由图知 x0，设 kyx，则 zxy1k.k 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率由图知，OA 的斜率最大，OC 的斜率最小【答案】(1)C(2)B 由y2，2xy40得 x1，y2，即 A(1，2)由2xy
13、20，2xy40得x32，y1，即 C32，1.故直线 OA 的斜率 k12，OC 的斜率 k213223，则23k2，121k32，即12xy32，故xy的取值范围是12，32，故选 B.【引申探究】x，y 满足约束条件x0y2yx1.1若 zy1x1，求 z 的取值范围【解析】zy1x1可以看作过点 P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率 z 的取值范围是(，0)2若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值【解析】zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2 表示点 P(1，1)与 Q(x，y)的距离的平方|PQ|2，|PQ|2max(01)2(21)22，|PQ
14、|2min|111|12（1）2212，zmax213，zmin12132.命题点 3 求线性规划的参数【例 5】(2016北京西城期末)设 x，y 满足约束条件yx1，xy3，ym.若 zx3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m()A.32B32C.14D14【解析】由约束条件yx1，xy3，ym作出可行域，如图由yx1，xy3解得 A(1，2)；由ym，yx1解得 B(m1，m)zx3y 可化为 yx3z3.由图可知，当直线 yx3z3过 A 时，z 有最大值 7，当直线 yx3z3过 B 时，z 有最小值 4m1.由题意 7(4m1)7，解得 m14.【答案】C【方法规律】(1)先
15、准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：x2y2 表 示 点(x，y)与 原 点(0，0)的 距 离，（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件 跟踪训练 2(1)(2015山东)已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0，若 zaxy 的最大值为 4，则 a 等于()A3 B2C2 D3(2)(2016北京房山周
16、口店中学上学期期中)已知不等式组xy20，x20，axy20表示的平面区域的面积等于 3，则 a 的值为()A1 B1C2 D.12【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 易知 A(2，0)，由xy0，xy2，得 B(1，1)由 zaxy，得 yaxz.当a2或a3时，zaxy在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D选项；当a2或3时，zaxy在A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.(2)在坐标系内，作出不等式组xy20，x20，axy20表示的平面区域，如图，该平面区域为ABC 及内部，所以 S122|AC|3，所以|AC|3，即
17、 C(2，3)又因为点 C 在直线 BC：axy20上，所以 a12.【答案】(1)B(2)D 题型三 线性规划的实际应用【例6】(2016课标全国)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元【解析】设生产产品 A x 件，产品 B y 件依题意，得 x0，y0，1.
18、5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，设生产产品 A，产品 B 的利润之和为 E 元，则 E2 100 x900y，画出可行域(图略)，易知最优解为x60y100此时 Emax21 6000.【答案】21 6000【方法规律】解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答 跟踪训练3(2015陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲 乙
19、 原料限额 A(吨)3 2 12 B(吨)1 2 8 A.12 万元B16 万元C17 万元D18 万元【解析】设每天甲、乙的产量分别为 x 吨，y 吨，由已知可得3x2y12，x2y8，x0，y0，目标函数 z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：【答案】D 可得目标函数在点 A 处取到最大值 由x2y8，3x2y12，得 A(2，3)则 zmax324318(万元)易错警示系列 8含参数的线性规划问题的易错点【典例】已知实数 x，y 满足y1，y2x1，xym，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 m_【易错分析】题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区
20、域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线xym和直线yx平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点【解析】显然，当 m2 时，不等式组表示的平面区域是空集；当 m2 时，不等式组表示的平面区域只包含一个点 A(1，1)，此时 zmin1101.显然都不符合题意 故必有 m2，此时不等式组y1，y2x1，xym所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为 A(1，1)，B(m1，1)，Cm13，2m13.由图可知，当直线 yxz 经过点 C 时，z 取得最小值，最小值为m132m132m3.由题意，得2m31，解得 m5.【答案】5【温馨提醒】(1)当约束条件含有参
21、数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来(2)应注意直线yxz经过的特殊点.方法与技巧1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次函数 zaxby(ab0)的最值，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值最优解在顶点或边界取得3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题 4利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题 失误与防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值
