1、第四章 导数及其应用 第 3 课时 导数与函数的零点(提升课)考点 1 判定函数零点的个数(讲练互动)【例】(2019合肥质检)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)f（x）x4 ln x 的零点个数解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR，所以设 f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且 a0.所以 f(x)minf(1)4a4，所以 a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3.(2)由(1)知 g(x)x22x
2、3x4ln xx3x4ln x2，g(x)的 定 义 域 为(0，)，g(x)1 3x2 4x（x1）（x3）x2，令 g(x)0，得 x11，x23.当 x 变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)递增极大值递减极小值递增当 0 x3 时，g(x)g(1)43 时，g(e5)e53e52022512290.又因为 g(x)在(3，)上单调递增，因而 g(x)在(0，)上只有 1 个零点，故 g(x)仅有 1 个零点1构建函数 g(x)(要求 g(x)易求，g(x)0 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数
3、的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出 g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数2利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数变式训练(2018全国卷)已知函数 f(x)13x3a(x2x1)(1)若 a3，求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点(1)解：当 a3 时，f(x)13x33x23x3，f(x)x26x3.令 f(x)0，解得 x32 3或 x32 3.当 x(，32 3)(32 3，)时，f(x)0；当 x(32 3，32 3)
4、时，f(x)0，所以 f(x)0 等价于x3x2x13a0.设 g(x)x3x2x13a，则 g(x)x2（x22x3）（x2x1）2 0，仅当 x0 时 g(x)0，所以 g(x)在(，)单调递增故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6a22a136(a16)2160，故 f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点考点 2 已知函数的零点求参数的取值范围【例】函数 f(x)axxln x 在 x1 处取得极值(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 yf(x)m1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)aln x1，因为 f(1
5、)a10，解得 a1，当 a1 时，f(x)xxln x，即 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得 0 x1，即 m2，当 0 xe 时，f(x)x(1ln x)e 时，f(x)0；当 x0 且 x0 时，f(x)0；当 x时，显然 f(x).由图象可知 m10，即 m1，由可得2m1，所以实数 m 的取值范围为(2，1)与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题变式训练设 a，bR，已知函数 f
6、(x)1xaln xbx 的导函数为 f(x)，且 f(1)a3.(1)当 a3 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)当方程 f(x)2x0 有唯一实数根时，求实数 a 的取值范围解：由条件得，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x2axb.由 f(1)a3，得1aba3，则 b2，所以 f(x)1xaln x2x.(1)当 a 3 时，f(x)1x2 3x 2 （2x1）（x1）x2.令 f(x)1 或 0 x12.所以 f(x)的单调递减区间是0，12 和(1，)(2)方程 f(x)2x0 有唯一实数根等价于 aln x1x有唯一的实数根显然 a0，则可转化为关于 x 的方程
7、 xln x1a有唯一的实数根构造函数(x)xln x，则(x)1ln x，令(x)0，得 xe1.当 0 xe1 时，(x)e1 时，(x)0，(x)单调递增所以(x)的极小值为(e1)e1.作出函数(x)的大致图象(图略)，则要使方程 xln x1a有唯一实根，只需直线 y1a与曲线 y(x)有唯一的交点，则1ae1 或1a0，解得 ae 或 a0，故实数 a 的取值范围是e(0，)考点 3 与函数零点相关的综合问题【例】设函数 f(x)e2xaln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数；(2)证明：当 a0 时，f(x)2aaln2a.(1)解：f(x)的定义域为(0，)
8、，f(x)2e2xax(x0)当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点当 a0 时，设 u(x)e2x，v(x)ax，因为 u(x)e2x 在(0，)上单调递增，v(x)ax在(0，)上单调递增，所以 f(x)在(0，)上单调递增又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0，故当 a0 时，f(x)存在唯一零点综上所述，当 a0 时，f(x)没有零点；当 a0 时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递
9、增，所以当 xx0 时，f(x)取得极小值也为最小值，最小值为 f(x0)由于 2e2x0 ax00，所以 f(x0)a2x02ax0aln 2a2aaln 2a.故当 a0 时，f(x)2aaln 2a.1在(1)中，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，从而 f(x)在(0，)上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使得 f(b)0.2由(1)知，函数 f(x)存在唯一零点 x0，则 f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明 f(x0)2aaln 2a.变式训练(2018全国卷)已知函数 f(x)exax2.(1)若 a1，证明：当 x0 时，f(x)1；(2)若 f(x)在(
10、0，)只有一个零点，求 a.(1)证明：当 a1 时，f(x)1 等价于(x21)ex10.设函数 g(x)(x21)ex1，则 g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当 x1 时，g(x)0，h(x)没有零点；()当 a0 时，h(x)ax(x2)ex.当 x(0，2)时，h(x)0.所以 h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增故 h(2)14ae2是 h(x)在(0，)的最小值若 h(2)0，即 ae24，h(x)在(0，)没有零点若 h(2)0，即 ae24，h(x)在(0，)只有一个零点若 h(2)e24，因为 h(0)1，所以 h(x)在(0，2)有一个零点；由(1)知，当 x0 时，exx2，所以 h(4a)116a3e4a 116a3（e2a）21 16a3（2a）411a0，故 h(x)在(2，4a)有一个零点因此 h(x)在(0，)有两个零点综上，当 f(x)在(0，)只有一个零点时，ae24.