1、课时规范练35直接证明与间接证明 基础巩固组1.(2019安徽滁州期末)证明725-3,即证:7+325.只要证10+22120,只要证215,只要证210,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于26.(2019北京石景山区一模)德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半即n2;如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则施
2、行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),则n的所有不同值的个数为()A.4B.6C.32D.1287.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在区间0,1上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x20,1,当|f(x1)-f(x2)|x1-x2|时,求证:|f(x1)-f(x2)|0,用分析法证明1+x1+x2时,索的因是.10.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:a+b+c3.综合提升组11.(20
3、19广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当a2,2 019时,符合条件的a共有个.12.以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中,、两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.分析法,反证法B.分析法,综合法C.综合法,反证法D.综合法,分析法13.已知数列an中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足an=2Sn22Sn-1(n2).(1)求证:数列1Sn是
4、等差数列;(2)证明:当n2时,S1+12S2+13S3+1nSn32.创新应用组14.(2019浙江温州鹿城区高三质检)A是集合1,2,3,14的子集,从A中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则A中元素个数的最大值是.参考答案课时规范练35直接证明与间接证明1.B证明725-3,只要证10+22120,只要证215,只要证210,可知x1-x2,f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0.故选A.8.存在x1,x20,1,当|f(x1)-f(x2)|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|12根据反证法,写出相反的结论是:存在x1,x20,1,当|f
5、(x1)-f(x2)|0因为x0,所以要证1+x1+x2,只需证(1+x)21+x22,即证00,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.10.证明 欲证a+b+c3,则只需证(a+b+c)23,即证a+b+c+2(ab+bc+ac)3,即证ab+bc+ac1.又ab+bc+aca+b2+b+c2+a+c2=1,故原不等式a+b+c3成立.11.135由题设a=3m+2=5n+3,m,nN*,则3m=5n+1.当m=5k,n不存在;当m=5k+1,n不存在;当m=5k+2,n=3k+1,满足题意;当m=5k+3,n不存在;当m=5k+4,n不存在;故2a=15k+82 019,解得-615k
6、2 01115.则k=0,1,2,134,共135个.12.D根据已知可得该结构图为证明方法的结构图.由已知到可知,进而得到结论的应为综合法,由未知到需知,进而找到与已知的关系为分析法,故两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为,综合法,分析法.故选D.13.证明 (1)当n2时,Sn-Sn-1=2Sn22Sn-1,Sn-1-Sn=2SnSn-1,1Sn-1Sn-1=2,从而1Sn是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1Sn=1S1+(n-1)2=2n-1,Sn=12n-1,当n2时,1nSn=1n(2n-1)1n(2n-2)=121n(n-1)=121n-1-1n,从而S1+12S2+13S3+1nSn1+121-12+12-13+1n-1-1n32-12n32.14.8若1A,2A,根据从A中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列可得3A,令4A,5A,则6A,7A,8A,9A,令10A,11A,则12A,令13A,14A,此时A中元素个数为8.若元素个数为9,不妨将数字从小到大排列,则由题意得a3-a13,a5-a33,且a3-a1a5-a3,则a5-a17.同理a9-a57,进而a9-a114,与已知中A元素的极差为13矛盾,故A中元素个数的最大值是8.
