1、数列的概念及其表示法1理解数列的定义及其有关概念，了解数列与函数的关系2根据已知数列前几项的特点归纳数列的通项公式3掌握an与Sn的关系，根据Sn会求通项an.4会根据递推关系确定数列的前几项，掌握几类简单的递推关系求通项的方法 知识梳理1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an.2数列的单调性类型满足条件递增数列an1an递减数列an1an常数列an1an其中nN*3.数列的通项公式如果一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式anf(n)来表示，我们把这个公式anf(n)叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果已知数
2、列an的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.1数列与函数的关系数列是以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值2数列an的通项an与前n项和Sn的关系Sna1a2a3an，an3两个常用恒等式：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.ana1. 热身练习1数列，的第10项是(C)A. B.C. D. 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an.当n10时，a10.2原命题为“若an，nN*，则an为递减数
3、列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A)A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假 an，即anan12an，则an1an.所以an是递减数列故原命题为真，其逆否命题也为真若an为递减数列，则an1an，所以anan12an，所以an，故其逆命题也是真命题，则其否命题也为真命题3已知数列an的通项公式是ann(n1)，则132是该数列的(C)A第9项 B第10项C第11项 D第12项 因为n(n1)132，所以n2n1320，所以n11，或n12(舍去)4设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为(A)A15 B16C49 D64 因为S8a1a2a7
4、a8，S7a1a2a7，所以a8S8S7827215.5在数列an中，a12，an1anln(1)，则an(A)A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n 由递推关系得：a22ln 2，a32ln 3，由题中选项特点知，选A. 由数列的前几项求数列的通项写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)，；(2)3,5,9,17,33，. (1)观察每一项的符号：奇数项为负，偶数项为正，符号可由(1)n确定；观察分子：符合规律：n1；观察分母：符合规律：(n1)21.最后综合得所求通项公式为an(1)n(nN*)(2)(方法一)由于每项的值增长很快，与2n：2,4
5、,8,16,32，进行比较，得所求通项为an2n1(nN*)(方法二)考虑前后两项的关系，有a2a121，a3a222，a4a323，anan12n1，累加得，ana121222n12n2，所以an2n1(nN*) (1)依据数列前几项的特点归纳出通项公式的方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系具体可通过观察(观察项与项数的特点)、分析(系数、分子、分母等)、比较(与熟知的数列如等差、等比、(1)n,2n，n2等进行比较)、综合(综合写出项与项数的关系)得到所求数列的通项公式(2)注意掌握下列恒等式：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.1根据数列前几项，写出数列的一个通项
6、公式：(1)，；(2)1,3,6,10，. (1)注意到前四项中有两项的分子为4，不妨把分子都统一成4，即，所以an.(2)(方法一)an123n.(方法二)观察得anan1n(n2)所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)321. 由数列的前n项和Sn求数列的通项设数列an前n项和为Sn.(1)若Sn3n2，则an ；(2)若Snn23n，则an . (1)当n1时，a1S1321；当n2时，anSnSn123n1，所以an(2)当n1时，a1S14；当n2时，anSnSn1n23n(n1)23(n1)2n2，对于n1，有212a1，所以所求数列的通项an2n2(nN
7、*) (1)(2)2n2(nN*) 由Sn求an的步骤：(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1；(3)当n1的情况进行检验，若适合n2的表达式，则可以合并；若不适合，则写也分段函数形式2(2017陕西咸阳二模)已知正项数列an中，(nN*)，则数列an的通项公式为(B)Aann Bann2Can Dan 因为，当n2时，得n，所以n2时，ann2.又当n1时，1，a11，适合上式所以ann2(nN*) 简单的递推公式求通项根据下列各个数列an的首项和递推关系，求其通项公式：(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a1，an1an1(nN*) (1)a11，anan13n
8、1，所以anan13n1，令n2,3,4，得a2a131，a3a232，anan13n1，以上n1个等式相加得：ana13323n1，又a11，所以an1393n1(nN*)(2)设未知数x，使an1x(anx)成立，所以an1anx，与an1an1比较得x2.an12(an2)0.所以an2是以a12为首项，q的等比数列所以an2()n1，即an25()n(nN*) (1)由递推关系求通项，要求掌握如下方法：累加法与累乘法：anan1f(n)，可采用累加法求出an(条件是f(n)可求和)；g(n)，可采用累乘法求出an(条件是g(n)可求积)转化法：通过待定系数法、适当变形(如取倒数)等转化
9、为等差数列或等比列数列求通项如anpan1q(p，q为常数)可采用待定系数法转化为等比数列求通项3(1)数列an的首项a11，anan1(n2，nN*)，则an(nN*).(2)已知a11，an1(nN*)，则an(nN*). (1)因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，将以上n1个式子相乘得ana1(n2)，经检验n1时也适合，所以an(nN*)(2)两边取倒数得，所以是以1为首项，以为公差的等差数列，所以1(n1)，即an(nN*)1根据数列的前若干项写出数列的通项公式，关键是通过观察、分析、比较，发现项与项数之间的关系如果关系不明显时，应将该项的值作适当的变形和分解，让规律凸现出来同时，要熟悉一些基本数列的通项及其特点，如正整数数列，正整数的平方数列，奇数数列，偶数数列，2或3为底的幂的数列，数列(1)n等2已知Sn求an，要注意公式anSnSn1成立的充要条件是n2，所得到的an的表达式一定要检验a1S1是否适合n2的表达式，如不适合，则an如适合，则anSnSn1 (n1)3已知递推公式求通项，要求掌握如下常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式要求掌握如下结论：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.ana1.(3)利用待定系数法或适当变形等转化为等差数列或等比数列求解的简单的递推关系问题
