1、阶段回扣练8立体几何(建议用时：90分钟)一、选择题1(2015杭州质量检测)设直线l平面，直线m平面()A若m，则lm B若，则lmC若lm，则 D若，则lm解析A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的与也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.答案B2如图，在三棱锥ABCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DBDC，E为BC的中点，则等于()A3 B2C1 D0解析()()0.答案D3(2015济南模拟)已知直线m，n不重合，平面，不重合，下列命题正确的是()A若m，n，m，n，则B若m，n，则mnC若，m，n，则mnD若m，n，则mn解析由面
2、面平行的判定定理可知A中需增加条件m，n相交才正确，所以A错误；若m，n，则m，n平行或异面，B错误；若，m，n，则m，n平行、相交、异面都有可能，C错误；由直线与平面垂直的定义可知D正确，故选D.答案D4.(2014甘肃诊断)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()解析由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得ABBDAD2，当BC平面ABD时，BC2，ABD的边AB上的高为，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选B.答案B5(2014广州综合测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
3、积为()A2 B4 C6 D12解析依题意，题中的几何体是半个圆柱，因此其体积等于2236.答案C6在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形DEH平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析如图，由题意得EFBD，且EFBD.HGBD，且HGBD.EFHG，且EFHG.四边形EFGH是梯形又EF平面BCD，而EH与平面ADC不平行故选B.答案B7(2014北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知
4、A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1解析根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC，显然S1SABC222，S2S32.故选D.答案D8(2014陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.解析如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC，对角面ACC1A1为正方形，外接球直径2RA1C2，R1，V球，故选D.答案
5、D9如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于()A2 B. C. D.解析设正方体的棱长为2，建立以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，(1，2，0)，(1，0，1)易知平面BCC1的一个法向量为(0，2，0)，设平面EFC1B的法向量为m(x，y，z)，则mx2y0，mxz0，令y1，则m(2，1，2)，故 cosm，tanm，2.故所求二面角的正切值为2.答案A10正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G分别为AB，AA
6、1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0，0，0)，F(1，0，1)，B1(1，0，2)，A1(1，0，2)，C1(0，2)，G.(2，0，1)，(1，0，1)，设平面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则 sin | cosn，|.答案A二、填空题11(2014太原模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析由三视图可得该几何体是一个侧放的直四棱柱，该四棱柱的底面是上底、下底、高分别为2，4，4，腰长为的
7、等腰梯形，所以两个底面面积和为2(24)424，侧棱长为4，所以侧面积为(242)4248，表面积为24248488.答案48812设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG3GG1，若xyz，则x_，y_，z_解析()()()()，xyz.答案13(2014辽宁大连四所重点中学联考)球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则三棱锥SABC的体积的最大值为_解析记球O的半径为R，作SDAB于D，连接OD、OS，易求R，易知SD平面ABC，注意到SD，因此要使SD最大，则需OD最小，而OD的最小值为，因
8、此高SD的最大值是1，又三棱锥SABC的体积为SABCSD22SDSD，因此三棱锥SABC的体积的最大值是1.答案14在菱形ABCD中，AB2，BCD60，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为_解析如图，取BD的中点O，连接AO、CO，建立空间直角坐标系，AB2，BCD60，A(0，0，)，B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0，0)，(1，0，)，(1，0)， cos，.故所求异面直线所成角的余弦值为.答案15已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是
9、_解析点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.当时，取得最小值.此时.答案三、解答题16.(2014湖南卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值(1)证明如图，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC，同理DD1BD，因为CC1DD1，所以CC1BD，而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知O1OC1C，故O1O底面ABC
10、D.(2)解因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD，又由(1)知O1O底面ABCD，从而OB、OC、OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2，因为CBA60，所以OB，OC1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面OB1C1的法向量，则即取z，则x2，y2，所以n2(2，2，)，设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是 cos | cosn
11、1，n2 |.17如图1，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2，E，F，G分别是线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD，如图2所示(1)求证：AP平面EFG；(2)求二面角GEFD的大小(1)证明易知四边形ABCD为正方形，且PD平面ABCD，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，2)，F(0，0，1)，E(0，1，1)，G(1，2，0)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)(0，1，0)，(1，1，1)，ny0，nxyz0，取x1，则n(1，0，1)又(2，0，2)，n0，AP/
12、平面EFG，AP平面EFG.(2)解易知平面EFD的一个法向量为(2，0，0)由(1)知平面EFG的一个法向量为 n(1，0，1)设二面角GEFD的大小为，则| cos | cos，n|.由图知二面角GEFD的平面角为锐角，二面角GEFD的大小为45.18(2014陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值(1)证明由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面B
13、DCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)解如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1，1，0)， sin |cos，n |.即直线AB与平面EFGH夹角的正弦值为.19.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD
14、，AD2，AB1，E、F分别是线段AB、BC的中点(1)求证：PFFD；(2)在PA上找一点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0)，不妨令P(0，0，t)，t0.(1，1，t)，(1，1，0)，111(1)(t)00.PFFD.(2)解设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，则n(，1)，设G(0，0，m)，E(，0，0)，(，0，m)，由题意n0，m0，mt，当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时，使得EG平面PFD.(3)解PA平面ABCD，PBA就是PB与平面ABCD所成的角，即PBA45，PAAB1，P(0，0，1)，由(2)知平面PFD的一个法向量为n(，1)易知平面PAD的一个法向量为(1，0，0)， cos，n.由图知，二面角APDF的平面角为锐角，所以，二面角APDF的余弦值为.
