1、第2课时基本不等式的实际应用课后训练巩固提升A组1.当x0时,y=12x+4x的最大值为()A.-4B.-8C.-83D.-16解析:x0,y=-12x+(-4x)-2-12x(-4x)=-83.答案:C2.函数y=xx+1的最大值为()A.25B.12C.22D.1解析:当x=0时,y=0;当x0时,x+12x0,则yx2x=12,当且仅当x=1时,等号成立.故函数y=xx+1的最大值为12.答案:B3.当a0时,关于代数式2aa2+1,下列说法正确的是()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最小值也有最大值D.无最小值也无最大值解析:a0,2aa2+1=2a+1a22a1a=1,
2、当且仅当a=1a,即a=1时,取等号,故a0,代数式2aa2+1有最大值1,没有最小值.答案:A4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(xN*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为()A.3B.4C.5D.6解析:由题意可知,yx=-x+25x+12-2x25x+12,当且仅当x=25x时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.答案:C5.若对x0,y0,有(x+2y)2x+1ym恒成立,则m的取值范围是()A.m8B.m8C.m2)在x=a处取最小值,则a=.解析
3、:y=x+1x-2=x-2+1x-2+2.x2,x-20.y=x-2+1x-2+22(x-2)1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,“=”成立.又y在x=a处取最小值,a=3.答案:37.已知a0,b0,1a+2b=2,则a+2b的最小值为.解析:a0,b0,1a+2b=2,a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab12(5+4)=92,当且仅当2ba=2ab,且1a+2b=2,即a=b=32时,取等号,a+2b的最小值为92.答案:928.在4+9=60的两个中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上和.解析:设两数为x,y,即4x+9y=60
4、,1x+1y=1x+1y4x+9y60=16013+4xy+9yx160(13+12)=512,当且仅当4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.答案:649.(1)求函数y=14x-5+4xx54的最小值;(2)求函数y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值;(3)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.解:(1)x54,4x-50,y=14x-5+4x=14x-5+(4x-5)+57,当且仅当4x-5=14x-5,即x=32时,取等号.y的最小值为7.(2)x0,a2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x
5、+(a-2x)22=a28,当且仅当x=a4时取等号,y的最大值为a28.(3)方法一:1x+9y=1,x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy.x0,y0,yx+9xy2yx9xy=6.当且仅当yx=9xy,即y=3x时,取等号.又1x+9y=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取最小值16.方法二:由1x+9y=1,得x=yy-9.x0,y0,y9.x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9+1=(y-9)+9y-9+10.y9,y-90,y-9+9y-9+102(y-9)9y-9+10=16,当且仅当y-9=9y-9,即y=12时,取等号.又1x+9y
6、=1,x=4.当x=4,y=12时,x+y取最小值16.10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|=x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010x.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20
7、)a+160=4000+(8x+20)2010x+160=80102x+5x+4160(x1).(2)80102x+5x+4160801022x5x+4160=1600+4160=5760.当且仅当2x=5x,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.B组1.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a+1b1C.ab2D.a2+b28解析:4=a+b2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab2,ab4,故1ab14,选项A,C不成立;1a+1b=a+bab=4ab1,选
8、项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab8,选项D成立.答案:D2.已知x,y0,x+y=1,若4xy1B.t1C.t2解析:由基本不等式,得4xy4x+y22=1,当且仅当x=y=12时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t1.因此实数t的取值范围是t1.答案:A3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=135+125=5,当且仅当x=1,y=12时,取等号.故3x
9、+4y的最小值是5.答案:C4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12解析:x2+2xy-3=0,y=3-x22x,2x+y=2x+3-x22x=3x2+32x=3x2+32x23x232x=3.当且仅当3x2=32x,即x=1时,取等号.答案:B5.函数y=x2+2x+2x+1(x-1)的图象的最低点坐标是.解析:由题意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+12,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).答案:(0,2)6.设a1,b0,若a+b=2,则2a-1+1b的最小值为.解析:由a1,b0,且
10、a+b=2,得a-1+b=1,a-10,b0,则2a-1+1b=2a-1+1b(a-1)+b=3+2ba-1+a-1b3+22ba-1a-1b=3+22,当且仅当2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=2-1时取得最小值3+22.答案:3+227.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.解:x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,(a+b)2=18.又a+b=10,a=2,b=8或a=8,b=2.8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广
11、告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32Q+3Q150%+xQ50%,所以年销售收入为32Q+3Q150%+xQ50%Q=32(32Q+3)+12x.所以年利润W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x0).(2)令x+1=t(t1),则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-t2+32t.因为t1,所以t2+32t2t232t=8,即W42,当且仅当t2=32t,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.
