1、 理科数学第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则（ ）A B C D2.已知实数集，集合，集合，则（ ）A B C D3.已知命题，那么“为真命题”是“为真命题”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要4.相距1400 的两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差，已知声速，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（ ）A B C D15.如图（1）是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，图（2）是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次
2、数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A7 B8 C9 D106.已知，其导函数的图象如图所示，则的值为（ ）A B C D7.一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（ ）A5和2 B5和3 C5和4 D4和38.假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：:00-7:00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）A B C D9.已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A30条 B56条 C60条 D66条10.已知函数，若
3、存在实数，使得成立，则整数的最小取值为（ ）A3 B4 C5 D6第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. .12. 的二项展开式中的系数为 .（用数字表示）13.若且，则的最小值为 .14.在中，则 .15.定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，若函数在上至少有3个零点，则实数的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17. （本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.（1）求函数图象的对称中心；（2）在
4、中，内角所对的边分别为，若为锐角三角形且，求的取值范围.18. （本小题满分12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率：有且仅有1名学生成绩不低于110分；成绩在内至多1名学生；（2）在成绩是内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在内人数为随机变量，求的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）圆上两点在直径的两侧（如图甲），沿直径将圆折起形成一个二面角（如图乙），若的平分线交弧于点，交弦于点
5、为线段的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角为直二面角，且，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）设椭圆，其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设曲线的上、下顶点分别为，点在曲线上，且异于点，直线与直线分别交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值；求线段长的最小值.21. （本小题满分14分）已知函数，.（1）设函数，其导函数为，若在上具有单调性，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：.雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出
6、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案CDABDCBDCC二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11、2 12、15 13、9 14、 15、.三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16、（本题满分12分）解:()设数列 且 解得 所以数列 6分()由()可得 所以 所以 两式相减得10 分 12 分17、（本题满分12分）解: (1)由条件得 3分由解得故所求对称中心为6分（2）由解得，所以又为锐角三角形，故所以，即的取值范围是12分18（本题满分12分）（1）由频率分布直方图知：，.故成绩在分的学生有
7、：人，成绩在分的学生有：人，成绩在分的学生有：人，成绩在分的学生有：人.记事件为“抽取3名学生中同时满足条件的事件”包括事件“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在分之间”，事件“抽取3名学生中1人成绩不低于110分，1人在之间”且是互斥事件.（2）的可能取值为0,1,2,3，故的分布列为：X0123P所以.19、（本题满分12分）解析：()又OF （2分）又OG 又可知AD（4分）又OG （5分）又 平面OGF平面CAD（6分）（）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB 由已知得则CO又 AD=1,又ADGO为菱形，设DG中点为M,则 直线OM,OB,OC两两垂直，故可如图建立空
8、间直角坐标系（8分）则B为(0,1,0) C为(0,0,1) D为（，G为（， F为（0，）（9分）（，为直线FG的一个方向向量（10分）设则又令y=1,则=则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为（12分）20、（本题满分13分）解：()C的方程为： 4分() (1)由题意，A(0,1)，B(0，1)，令P(x0，y0)，则x00，直线AP的斜率k1，BP的斜率k2.又点P在椭圆上，从而有k1k2.即k1k2为定值 7分(2)由题设可以得到直线AP的方程为y1k1(x0)， 直线BP的方程为y(1)k2(x0)，由得由得直线AP与直线l的交点，直线BP与直线l的交点.又k1k2，|MN|当且仅当，即k1时等号成立，故线段MN长的最小值是. 13分21、（本题满分14分）解：() ， 设，则，2分（1）若在上恒成立，则，故；（2）若在上恒成立，则，此时，故不存在使恒成立综上所述，的范围是：6分()由()知当时，上为减函数，所以，即，所以，依次令得：累加得：故.14分
