1、6.2.3平面向量的坐标及其运算课时33平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是_、_、_.答案(4,0)(0,6)(2，5)解析将各向量向基底所在直线分解a4i0j，a(4,0)，b0i6j，b(0,6)，c2i5j，c(2，5)2在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是_(只填序号)2i3j；3i4j；5ij；5ij.答案解析i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有2i3j，3i4j，5ij，5ij，故正确知识点二 平面
2、上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3) B(7,7) C(1,7) D(1,3)答案A解析a2b(3,5)2(2,1)(7,3)4已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析因为ab(0,1x2)，所以ab平行于y轴5已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b相等，则_，|namb|_.答案解析manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)解得.namb2ab(5，4)，|namb|2ab|.知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标
3、公式6.在ABC中，已知点A(3,7)，B(2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上(1)求点C的坐标；(2)求ABC的三边长解(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得0，0，x3，y5，即C点坐标为(3，5)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，7)综上C点坐标为(3，5)或(2，7)(2)当C点坐标为(3，5)时，AB，AC6，BC.当C点坐标为(2，7)时，AB，AC，BC4.7已知在ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
4、解因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以(4，3)，(3，5)又因为D是BC的中点，有()(3.5，4)，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点故有(1.75,2)知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且t，试问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解由已知得(1,2)，(3,3)，(1,2)t(3,3)(13t,23t)(1)若点P在x轴上，则有23t0，t；若点P在y轴上，则有13t0，t；若点P在第二象限，则有解得t.
5、(2) (4,5)(13t,23t)(33t，33t)，若四边形OABP是平行四边形，则有P，即有33t1，且33t2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2B(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求点M，N的坐标及的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(
6、12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18).易错点 转换向量关系失误10.平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC并延长至点E，使|，则点E的坐标为_易错分析连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误答案正解设坐标原点为O，()2(3，6)点C的坐标为(3，6)又|，且E在DC的延长线上，.设E(x，y)，则(x3，y6)(4x，3y)，得解得点E的坐标为.一、选择题1已知向量a(2,3)，b(2，3)，则下列结论正确的是()A向量a的终点坐标为(2,3)B向量a的起点坐标为(2,3)C向量a与b互为相反向量D
7、向量a与b关于原点对称答案C解析a(2,3)，b(2，3)，故aB故选C2已知a(2,3)，b(1,5)，则3ab等于()A(5,14) B(5,14)C(7,4) D(5,9)答案A解析3ab3(2,3)(1,5)(5,14)，故选A3如图所示，e1，e2为正交基底，则向量2ab的坐标为()A(3,4) B(2,4)C(3,4)或(4,3) D(4,2)或(2,4)答案A解析由图可知2a2e1e2，be13e2，所以2ab3e14e2(3,4)4设向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，则x的值是()A B C D答案C解析ab(1,2)(3,5)(2,7)，c(4，x
8、)，又abc，故解得则x.5已知M(2，1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|2|PN|，则P点坐标为()A(2,11) BC D(2,12)答案A解析因为P在MN的延长线上且|MP|2|PN|，所以2，则2()，所以22(0,5)(2，1)，即(2,11)二、填空题6如图，正方形ABCD中，O为中心，且(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：_，_，_，_.答案ijij2i2i2j解析如题图所示，(1,1)ij，i，j.i，j，j.ij；ij；ij(ij)2i.同理，ij(ij)2j，2i(2j)2i2j.7已知ab(2，8)，ab(8,16)，则|a|b|_.答案18解析
9、联立由得，a(3,4)，由得，b(5，12)故|a|b|51318.8已知点A(1，1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有(1) ，R，则x_.答案2解析取O(0,0)，由(1) 得，(x,5)(1，1)(1)(1,3)，解得9已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量23的坐标为_答案(3,4)解析根据题意建立坐标系如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)(1,0)，(0,1)，(1,1)23(2,0)(0,3)(1,1)(3,4)三、解答题10(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,
10、5)，C(1,8)，求，2的坐标；(2)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab,3a4b的坐标解(1)A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)(7,5)(4,6)(3，1)；(1,8)(4,6)(3,2)；(3，1)(3,2)(0,1)；(3，1)(3,2)(6，3)；22(3，1)(3,2)(6，2).(2)ab(1,2)(3,4)(2,6)；ab(1,2)(3,4)(4，2)；3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10)11已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长解设点P(x1，y1)，B(x，y)，(x1，y1)(6x1,3y1)，解得点P的坐标为(2,1)点P是OB的中点，2，1x4，y2，点B的坐标为(4,2)PB的长为.12已知a(2，4)，b(1,3)，c(6,5)，pa2bc，(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式解(1)p(2，4)2(1,3)(6,5)(6，3)(2)设pab(，R)，则(6，3)(2，4)(1，3)(2，43)，pa15b