1、北京市2016年高三综合能力测试数学试卷（文科）（3月份）（解析版）一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1计算sin=（）ABCD2已知集合A=xZ|（x2）（x5）0，B=3，6，则下列结论成立的是（）ABABAB=ACAB=BDAB=33在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4下列函数中，在定义域内是偶函数，且值域为0，+）的是（）Af（x）=x2Bf（x）=2x1Cf（x）=x2+cosxDf（x）=xsinx5已知a，b均为实数，则“ab21”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件6图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，A11，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A6B10C7D167已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最大侧面积为（）A4BCD28若定义在R上的可导函数y=f（x）对于任意的x满足f（2x）+f（x）=0，当x1时恒有，在下列结论中：函数y=f（x+1）是奇函数；若3x1x23，且x1+x22，则f（x1+x2）0；函数y=f（x）有三个零点，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9双曲线
3、x2=1的焦点坐标为10，ln2，tan三个数中最大的是11直线x+2y2=0过抛物线y2=2px的焦点，则p=12已知满足的点P（x，y）不在函数y=ax的图象上，则实数a的取值范围为13已知ABC的外接圆的圆心为点O，半径为l，若，且|=|，则=14某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图1所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，如图1的点P，线段AB尽管过P，但是由A，B两点确定的），这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则下面
4、所给线路图2中可以成为屏幕解锁图案的序号是三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15在ABC中，b=，B=（）如果a=2c，求c的值；（）设f（A）表示ABC的周长，求f（A）的最大值16已知数an的前n项和为Sn（）若数列an是等差数列，则满足a5=0，S1=2S2+8，求数列an的通项公式；（）若2Sn=3an1，证明数列an是等比数列，并求其前n项和Sn17目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员之间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里聊天记录（假定该群
5、进群由群主同意邀请，且无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理（）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率（）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，求两个月中至少有一个月群氛围优良的概率；（）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况18如图，在几何体ABCDEF中，等腰梯形ABCD所在的平面与正方形CDEF所在的平面互相垂直，已知ABCD，AB=2BC=4，ABC=60，点M是线段AC的中点（）求证
6、：CFAD；（）求证：ME平面BCF；（）对于线段EF上的任意一点G，是否总有平面ACG平面BCF，并说明理由19已知椭圆M：x2+4y2=4（）求椭圆M的离心率；（）设O为原点，若点A在圆x2+y2=2y上且不在y轴上，直线OA与椭圆M相交于B，C两点（点B在线段OA上），试判断是否存在点A使得|AB|=|OC|？并证明你的结论20已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=mx2+mx1（m为整数）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）图象的下方，求m的最小值2016年北京市高三综合能力测试数学试卷（文科）（3月份）参考答案
7、与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1计算sin=（）ABCD【分析】由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果【解答】解：sin=sin（+）=sin=，故选：B【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题2已知集合A=xZ|（x2）（x5）0，B=3，6，则下列结论成立的是（）ABABAB=ACAB=BDAB=3【分析】由（x2）（x5）0，解得2x5，又xZ，可得集合A=2，3，4，5，利用集合的运算性质即可判断出结论【解答】解：（x2）（x5）0，解得2x5，又xZ，集合A=2，3，4，5，B=3，6，A
8、B=3，故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数=i，复数对应点（，1）在第四象限故选：D【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题4下列函数中，在定义域内是偶函数，且值域为0，+）的是（）Af（x）=x2Bf（x）=2x1Cf（x）=x2+cosxDf（x）=xsinx【分析】根据函数奇偶性和值域的性质进行排除判断即可【解答】解：Af（x）=x2是偶函数，且f（x）=x20，
9、即函数的值域是0，+），故A正确，Bf（x）=2x1不是偶函数，不满足条件Cf（x）=x2+cosx是偶函数，f（x）=2xsinx，f（x）=2cosx0，则当x0时，f（x）是增函数，则f（x）f（0）=0，即f（x）在0，+）上是增函数，则f（x）f（0）=1，即函数的值域是1，+），不满足条件Df（x）=xsinx是偶函数，当x=时，y=sin=0，则函数的值域不是0，+），不满足条件故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值域的计算，要求熟练掌握函数的性质5已知a，b均为实数，则“ab21”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【
10、分析】ab21“a”（b20），即可判断出结论【解答】解：ab21“a”（b20），“ab21”是“a”的充要条件，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，A11，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A6B10C7D16【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数
11、，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10故选：B【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题7已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最大侧面积为（）A4BCD2【分析】画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出即可【解答】解：由题意考查几何体的图形如图，该几何体是一个底面为直角三角形，顶点在底面的射影E为斜边中点的三棱锥，三棱锥的数据如图，可得：AB=AC=AD=2，BD=2，AE=BE=CE=DE=2，则利用余弦定理可得：cosBAD=，cosCAD=，可求：sinBAD=，sinCAD=，则SABC=4=4SABD=ABA
12、DsinBAD=SADC=ACADsinCAD=SABCSABDSADC，则该三棱锥最大侧面积为：SABC=4=4故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题8若定义在R上的可导函数y=f（x）对于任意的x满足f（2x）+f（x）=0，当x1时恒有，在下列结论中：函数y=f（x+1）是奇函数；若3x1x23，且x1+x22，则f（x1+x2）0；函数y=f（x）有三个零点，所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用函数奇偶性的定义以及函数零点的性质分别进行判断即可【解答】解：f（2x）+f（x）=0，f（2x）=f（
13、x），则函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y=f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y=f（x+1）是奇函数正确，当x3时，由得f（x）0，则函数为增函数，当1x3时，由得f（x）0，则函数为减函数，当x=1时，f（1）=f（1），则f（1）=0，若3x1x23，且x1+x22，则f（x1+x2）0不一定成立；故错误，由知f（1）=0，当x=3时，f（3）的值不确定，故无法判断函数f（x）的零点个数，故错误，故选：A【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及函数的单调性，奇偶性以及极值的判断，涉及的知识点较多，综合性较强二、填空题（共6个小题
14、，每小题5分，共30分）9双曲线x2=1的焦点坐标为（2，0），（2，0）【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标【解答】解：双曲线x2=1的a=1，b=，c=2，可得双曲线的焦点坐标为（2，0），（2，0）故答案为：（2，0），（2，0）【点评】本题考查双曲线的焦点坐标，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题10，ln2，tan三个数中最大的是【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解【解答】解：30=1，ln2lne=1，tan0，ln2，tan三个数中最大的是故答案为：【点评】本题考查三个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意
15、指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用11直线x+2y2=0过抛物线y2=2px的焦点，则p=4【分析】求出抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），即可求出p的值【解答】解：令y=0，可得x=2，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），=2，p=4故答案为：4【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础12已知满足的点P（x，y）不在函数y=ax的图象上，则实数a的取值范围为（2，+）【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最小值【解答】解：由画出满足条件的可行域，由，解得，得到点A（1，2），当A（1，2）在函数y=ax的图象
16、上，此时2=a，由于点P（x，y）不在函数y=ax的图象上，所以实数a的取值范围为（2，+）【点评】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想13已知ABC的外接圆的圆心为点O，半径为l，若，且|=|，则=3【分析】可作出图形，根据条件便可得出O为BC边的中点，BAC=90，以及AC=1，BC=2，从而得到，而，进行数量积的运算便可得出的值【解答】解：如图，由得，O为边BC的中点，O为ABC外接圆的圆心，且半径为1；BAC=90，BC=2；又，AC=1；=故答案为：3【点评】考查向量加法的平行四边形法则，三角形外心的概念，
17、直径所对的圆周角为直角，以及直角三角形边的关系，向量加法的几何意义，数量积的运算14某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图1所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，如图1的点P，线段AB尽管过P，但是由A，B两点确定的），这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则下面所给线路图2中可以成为屏幕解锁图案的序号是【分析】由题目条件，易得结论【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1
18、到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据，的信息，可得，只有一种使其唯一确定，有多种，故答案为：【点评】本题考查学生合情推理的能力，看懂题意是解题的关键三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15在ABC中，b=，B=（）如果a=2c，求c的值；（）设f（A）表示ABC的周长，求f（A）的最大值【分析】（I）由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，又a=2c，代入解出即可得出（II）在ABC中，由正弦定理可得： =2，可得a=2sinA，c=2s
19、inC，f（A）=a+b+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin=+，由于A，可得即可得出【解答】解：（I）由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，又a=2c，可得：3=5c24c2，解得c=1（II）在ABC中，由正弦定理可得： =2，a=2sinA，c=2sinC，f（A）=a+b+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin=2sinA+2=3sinA+cosA+=2=+，A，f（A）的最大值是3【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知数an的前n项和为Sn（）若数列an是等差数列，则满足a5=0，S1
20、=2S2+8，求数列an的通项公式；（）若2Sn=3an1，证明数列an是等比数列，并求其前n项和Sn【分析】（）设数列an的首项为a1，公差为d；从而可得a5=a1+4d=0，a1=2（2a1+d）+8，从而解得；（）分类讨论，从而化简可得=3，从而证明并求和【解答】解：（）设数列an的首项为a1，公差为d；则a5=a1+4d=0，a1=2（2a1+d）+8，解得，a1=，d=；故an=+（n1）=n4；（）证明：2Sn=3an1，当n=1时，2S1=3a11，解得，a1=1，当n2时，2Sn=3an1，2Sn1=3an11，故2an=3an3an1，故=3，故数列an是以1为首项，3为公比
21、的等比数列，故Sn=（3n1）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程思想的应用17目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员之间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里聊天记录（假定该群进群由群主同意邀请，且无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理（）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率（
22、）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，求两个月中至少有一个月群氛围优良的概率；（）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况【分析】（）设从此群主统计的一年里随机选取一个月，该月群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出该月群氛围不合理的概率（）由已知利用列举法能求出两个月中至少有一个月群氛围优良的概率（）从图中可以看出，在前半年“群健康度”保持不错的水平，由此能说明该群在这一年里的群氛围变化的情况【解答】解：（）设从此群主统计的一年里随机选取一个月，该月群氛围不合理为事件A，则P（A）=（）由图得连续两个月群氛围均为优良的为（1，2），（2，3），（5，
23、6），连续两个月中群氛围有一个月为优良的为（3，4），（4，5），（6，7），（8，9），（9，10），设两个月中至少有一个月群氛围优良为事件B，P（B）=（）从图中可以看出，在前半年“群健康度”保持不错的水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越来越不合理【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用18如图，在几何体ABCDEF中，等腰梯形ABCD所在的平面与正方形CDEF所在的平面互相垂直，已知ABCD，AB=2BC=4，ABC=60，点M是线段AC的中点（）求证：CFAD；（）求证：ME平面BCF；（）对于线段EF上的任意一点G，是否
24、总有平面ACG平面BCF，并说明理由【分析】（）由正方形CDEF，得CFCD，从而CF平面ABCD，由此能证明CFAD（）取BC中点N，连结MN、NF，则MNAB，推导出四边形EFNM是平行四边形，由此能证明ME平面BCF（）由余弦定理得AC=2，由勾股定理得ACBC，从而CFAC，进而得到平面ACG平面BCF，由此求出对于线段EF上的任意一点G，总有平面ACG平面BCF【解答】证明：（）由正方形CDEF，得CFCD，平面ABCD平面CDEF，且平面ABCD平面CDEF=CD，CF平面ABCD，又AD平面ABCD，CFAD（）如图，取BC中点N，连结MN、NF，则MNAB，且MN=，又EFCD
25、，CDAB，EFMN，AB=2BC=4，ABC=60，CD=2，EF=MN，四边形EFNM是平行四边形，MEFN，又ME平面EFNM，FN平面BCF，ME平面BCF解：（）对于线段EF上的任意一点G，总有平面ACG平面BCF理由如下：AB=2BC=4，ABC=60，在ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcos60=16+4242cos60=12，AC=2，AB2=AC2+BC2，ACBC，由（）知CF平面ABCD，AC平面ABCD，CFAC，CFBC=C，且CF，BC平面BCF，AC平面BCF，又AC平面ACG，平面ACG平面BCF，对于线段EF上的任意一点G，总有平面AC
26、G平面BCF【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19已知椭圆M：x2+4y2=4（）求椭圆M的离心率；（）设O为原点，若点A在圆x2+y2=2y上且不在y轴上，直线OA与椭圆M相交于B，C两点（点B在线段OA上），试判断是否存在点A使得|AB|=|OC|？并证明你的结论【分析】（）求得椭圆的a，b，c，运用离心率公式e=，计算即可得到所求值；（）方法一、设OA的方程为y=kx，代入圆方程和椭圆方程，运用弦长公式，可得|OA|，|BC|，假设存在点A，使得|AB|=|OC|，则|AO|=|
27、BC|，解方程即可判断；方法二、假设存在点A，使得|AB|=|OC|由椭圆的对称性可得|OB|=|OC|，即有|AB|=|OB|，即B为OA的中点，设B（x，y），则A（2x，2y），分别代入椭圆方程和圆的方程，消去x，解得y的值，分别考虑椭圆的范围和A的位置，即可判断是否存在【解答】解：（）椭圆M：x2+4y2=4即为+y2=1，可得a=2，b=1，c=，即有离心率e=；（）方法一、设OA的方程为y=kx，圆x2+y2=2y即x2+（y1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，由弦长公式可得|OA|=2，将y=kx代入椭圆方程可得（1+4k2）x2=4，由弦长公式可得|BC|=，假设存在点A，
28、使得|AB|=|OC|，则|AO|=|BC|，即有2=，两边平方整理可得，7k2+4=0，该方程无解故不存在点A，使得|AB|=|OC|方法二、假设存在点A，使得|AB|=|OC|由椭圆的对称性可得|OB|=|OC|，即有|AB|=|OB|，即B为OA的中点，设B（x，y），则A（2x，2y），分别代入椭圆方程和圆的方程，可得，消去x，可得（y1）（3y+4）=0，可得y=1或y=，由椭圆方程可得y；又A不在y轴上，故y1故不存在点A，使得|AB|=|OC|【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的大小，考查直线和圆方程、椭圆方程联立，运用弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题20
29、已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=mx2+mx1（m为整数）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）图象的下方，求m的最小值【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可（2）构造函数G（x）=f（x）g（x），将条件转化为G（x）0，恒成立，求函数的导数，利用导数研究函数的最值问题即可得到结论【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+）；则f（1）=ln1+1=1，f（x）=1+，则f（1）=1+1=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y1=2（x1），即y=2x1；（2）令G（x）
30、=f（x）g（x）=lnxmx2+（1m）x+1，x0，若函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）图象的下方，等价为G（x）0，恒成立，即G（x）max0恒成立，G（x）=mx+1m=，（x0），当m0时，x0，G（x）0，则G（x）在（0，+）上单调递增，G（1）=m+20，f（x）的图象不可能在g（x）的图象的下方，当m0时，G（x）=，（x0），令G（x）=0，得x=，当0x时，G（x）0，函数G（x）递增，当x时，G（x）0函数G（x）递减，即当x=时，函数G（x）取得最大值G（）=lnm（）2+（1m）+1=lnm，令r（m）=lnm则r（m）在（0，+）上为减函数，r（1）=ln1=，r（2）=ln2ln=0，当m2，r（m）0，则m的最小值是2【点评】本题主要考查导数的应用，求函数的导数根据导数的几何意义以及构造函数转换为最值恒成立问题是解决本题的关键
