1、6.2.3向量的数乘运算课后训练巩固提升一、A组1.已知点C在线段AB上,且AC=35AB,则AC等于()A.23BCB.32BCC.-23BCD.-32BC解析:AC=35AB,BC=-25AB,AC=-32BC.答案:D2.1312(2a+8b)-(4a-2b)等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析:原式=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.答案:B3.在ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4AE,则()A.AD=2AEB.AD=4AEC.AD=2EAD.AD=4EA解析:由已知得AB+AC=2AD,所以A
2、D=2AE.答案:A4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,C,D三点共线B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线D.A,B,D三点共线解析:因为BD=BC+CD=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB=BD.又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.答案:D5.在四边形ABCD中,ABCD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE等于()A.23AB+12ADB.12AB+23ADC.56AB+13ADD.13AB+56AD解析:BC=BA+AD+DC=-23AB+AD,AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD-23AB=23A
3、B+12AD.答案:A6.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为.解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=a+(2-m)b.又因为向量a,b是两个不共线的向量,所以m=且-3=(2-m),解得m=-1或m=3.答案:-1或37.已知点M是ABC的重心,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=.解析:如图,根据重心的性质,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,AD=32AM,而AB+AC=2AD,故AB+AC=232AM=3AM,m=3.答案:38.在ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,
4、求MN(用a,b表示).解法一:如图所示,在ABCD中,连接AC交BD于点O,则O平分AC和BD.AN=3NC,NC=14AC=12OC,N为OC的中点.又M为BC的中点,MN=12BO,MN=12BO=14BD=14(b-a).解法二:MN=AN-AM=34AC-12(AC+AB)=14AC-12AB=14(a+b)-12a=14(b-a).9.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,证明这个四边形为梯形.证明:AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),AD=2BC.AD与BC共线,且|AD|=2
5、|BC|.这两个向量所在直线不重合,ADBC,且AD=2BC.四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.二、B组1.已知点P满足向量OP=2OA-OB,则点P与AB的位置关系是()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在直线AB外解析:OP=2OA-OB,OP-OA=OA-OB,AP=BA,点P在线段AB的反向延长线上,故应选C.答案:C2.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若AB=a,AD=b,则AF=()A.13a+bB.12a+bC.a+13bD.a+12b解析:由已知条件可知
6、,在DFE与EAB中,BE=3DE,DFAB,所以DF=13AB,所以AF=AD+DF=AD+13AB=13a+b.答案:A3.在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.-23C.25D.13解析:由题意知,CD=CA+AD.AD=23AB,CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA.=23.答案:A4.已知点P是ABC内的一点,AP=13(AB+AC),则ABC的面积与PBC的面积之比为()A.2B.3C.32D.6解析:设BC的中点为D,则AB+AC=2AD.AP=13(AB+AC)=23AD,如图,过点A作AEBC
7、,交BC于点E,过点P作PFBC,交BC于点F,则|PF|AE|=|PD|AD|=13.SABCSPBC=12|BC|AE|12|BC|PF|=3.答案:B5.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.解析:由已知得AB=-57CD,因此ABCD,且|AB|CD|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案:等腰梯形6.若AP=tAB(tR),O为平面上任意一点,则OP=(用OA,OB表示).解析:AP=tAB,OP-OA=t(OB-OA),OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.答案:(1-t)OA+t
8、OB7.设a,b是两个不共线的非零向量,记OA=a,OB=tb(tR),OC=13(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?解:OA=a,OB=tb,OC=13(a+b),AB=OB-OA=tb-a,AC=OC-OA=13(a+b)-a=13b-23a,A,B,C三点共线,存在实数,使AB=AC,即tb-a=13b-23a.由于a,b不共线,t=13,-1=-23.解得=32,t=12.故当t=12时,A,B,C三点共线.8.在ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且CM=tCP,求t的值.解:CP=23CA+13CB,3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CB-CP.2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.A,M,Q三点共线,设CM=xCQ+(1-x)CA=x2CB+(x-1)AC,又CB=AB-AC,CM=x2AB+x2-1AC.又CP=AP-AC=13AB-AC,且CM=tCP,x2AB+x2-1AC=t13AB-AC.x2=t3,x2-1=-t,解得t=34.
