1、题型六解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1设椭圆C：1 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，AF1F2为正三角形，且以AF2为直径的圆与直线yx2相切(1)求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由2(2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4
2、？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由答 案1解(1)AF1F2是正三角形，a2c.由已知F2(c,0)，A(0，b)，以AF2为直径的圆的圆心为，半径ra.又该圆与直线xy20相切，则有.由a2c，得bc，.得a2，c1，b.椭圆C的方程为1.(2)由(1)知F2(1,0)，l：yk(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x22)，(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)由菱形对角线垂直，则()0，(x1x22m)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，得k(y1y2)x1x22m0，得k2(x1x22)x1x22m0，k22m0.由已知条件k0，且kR，m.0，0mb0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有解得b212，b23(舍去)从而a216.所以椭圆C的方程为1.(2)同方法一
