1、第五章 三角函数、解三角形 专题探究课(二)高考中三角函数与解三角形热点问题最新考纲考情索引核心素养三角函数的图象与性质.2018全国卷，T8 2018全国卷，T102018全国卷，T6 2017浙江卷，T181.直观想象2.逻辑推理三角恒等变换.2018浙江卷，T18 2018江苏卷，T162018全国卷，T15 2018全国卷，T42017全国卷，T15 2016全国卷，T141.逻辑推理2.数学运算解三角形.2018全国卷，T7 2017天津卷，T151.逻辑推理2.数学运算热点 1 解三角形(满分示范)高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主其命题规律可以从以下两方面看
2、：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题【例 1】(满分 12 分)(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为a23sin A.(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长规范解答(1)由题设得12acsin Ba23sin A，即12csin Ba3sin A.2由正弦定理得12sin Cs
3、in B sin A3sin A.4故 sin Bsin C23.5(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C12，即 cos(BC)12.7所以 BC23，故 A3.8由题意得12bcsin Aa23sin A，a3，所以 bc8.9由余弦定理得 b2c2bc9，10即(bc)23bc9.由 bc8，得 bc 33.故ABC 的周长为 3 33.12高考状元满分心得 1.写全得分步骤：对于解题过程是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12acsin Ba23sin A就有分，第(2)问中求出 cos Bcos Csin Bsi
4、n C12就有分2写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin Csin B sin A3sin A；第(2)问由余弦定理得 b2c2bc9.3计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如 cos Bcos Csin Bsin C12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分构建模板第一步：由面积公式，建立边角关系；第二步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求 sin Bsin C 的值第三步：利用条件与(1)的结论，求得 cos(BC)，进而求角 A.第四步：由余弦定理与面积公式，求 b
5、c 及 bc，得到ABC 的周长第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论变式训练(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 2，求 BC.解：(1)在 ABD 中，由 正 弦 定 理 得BDsinA ABsinADB，即5sin 452sinADB，所以 sinADB 25.由题设知，ADB0)的最小正周期是.(1)求函数 f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求 f(x)在8，38 上的最大值解：(1)f(x)4cos x32 sin x12cos x2 3sin xcos x2cos2 x 3sin
6、 2xcos 2x12sin2x6 1，因为 f(x)的最小正周期为，所以 T 22|.又 0，所以 1，所以 f(x)2sin2x6 1.令22k2x622k(kZ)，得6kx3k(kZ)，所以函数 f(x)在(0，)上的单调递增区间为0，3 和56，.(2)当8，38 时，2x4，34，122x6712.当 2x62，即 x3时，f(x)取得最大值 1.热点 3 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正
7、、余弦定理解决问题【例 3】(2019郑州质检)已知向量 m(2sin x，cos2 xsin2 x)，n(3cos x，1)，其中 0，xR.若函数 f(x)mn 的最小正周期为.(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BA BC 的值解：(1)由题意得，f(x)mn2 3sin xcos xcos2xsin2 x 3sin 2xcos 2x2sin2x6.因为 f(x)的最小正周期为，所以 T 22|.又 0，所以 1.(2)设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.因为 f(B)2，所以 2sin2B6 2，即 sin2B6
8、 1，由于 0B，所以 B23.因为 BC 3，即 a 3，又 sin B 3sin A，所以 b 3a3.由正弦定理，得3sin A3sin 23，解得 sin A12.由于 0A3，所以 A6.所以 C6，所以 ca 3.所以BA BC cacos B 3 3cos 23 32.1这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解2求解三角函数的性质问题时，先借助三角恒等变换把待求函数化成 yAsin(x)b 的形式；然后，把“x”视为一个整体，借助正弦函数的性质，求解 yAsin(x)b 的单调性、最值、对称性等问题变式训练在ABC 中，内角 A，
9、B，C 的对边分别是 a，b，c，向量 ma2，c2，n(cos C，cos A)，且 nmbcos B.(1)求角 B 的值；(2)若 cos AC2 3sin A，且|m|5，求ABC 的面积解：(1)由 mnbcos B，得a2cos Cc2cos Abcos B，即 sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B，即 sin(AC)2sin Bcos B，即 sin B2sin Bcos B，因为 0B，sin B0，所以 cos B12，所以 B3.(2)CAB23 A，cos AC2 3sin AcosA3 3sin Acos A 3sin Atan A 33.因为 0A23 A6，所以 C632.在 RtABC 中，因为 acsin 612c，又|m|5，即 a2c220，所以 a2，c4，b 1642 3，ABC 的面积 S1222 32 3.