1、第三章 基本初等函数 第三节 对数与对数函数最新考纲考情索引核心素养1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax与对数函数logax互为反函数(a0，且a1).2018全国卷，T72018全国卷，T132018天津卷，T52017全国卷，T92017全国卷，T82016全国卷，T81.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1对数的概念如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作
2、_，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且 a1)xlogaNN(2)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么：loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR)；(3)换底公式：_(a，b 均大于零且不等于1)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogbNlogaNlogab3对数函数及其性质(1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质.项目a10a1图象项目a10a1定义域：_性质
3、值域：_(0，)R当 x1 时，y0，即过定点_当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0性质在(0，)上为_ 在(0，)为_(1，0)增函数减函数4.反函数指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数_(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称ylogaxyx1换底公式的两个重要结论(1)logab 1logba；(2)logambnnmlogab.其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR.2在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大3对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1
4、a，1，函数图象只在第一、四象限1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数 ylog2(x1)是对数函数()(3)函数 yln 1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 ab.()解析：(1)log2x22log2|x|，故(1)错(2)形如 ylogax(a0，且 a1)为对数函数，故(2)错(4)当 x1 时，若 logaxlogbx，但 a 与 b 的大小不确定，故(4)错答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P73T3 改编)已知 a21
5、3，blog213，clog1213，则()AabcBacbCcbaDcab(2)(人A必修1P74A组 T7改编)函数f(x)12x1log3(2x)的定义域是_解析：(1)因为 0a1，b1.所以 cab.(2)依题意2x10，2x0，解得12x0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 yloga(|x|1)的图象可以是()解析：由 f(x)在 R 上是减函数，知 0a1 时，yloga(x1)的图象由 ylogax 向右平移一个单位因此选项 D 正确答案：D2已知函数 f(x)2x，xbcBbacCcbaDcab解析：法一 因为 alog2e1，bln 2(0，1)，clog1213lo
6、g23log2ea1，所以 cab.法二 log1213log23，如图，在同一坐标系中作出函数 ylog2x，yln x 的图象，由图知 cab.答案：D【例 3】(2019昆明诊断)设 f(x)lg21xa 是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_解析：由 f(x)是奇函数可得 a1，所以 f(x)lg 1x1x，定义域为(1，1)由 f(x)0，可得 01x1x1，所以1x0.答案：(1，0)角度 对数型函数性质的综合应用【例 4】已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且 a1)(1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数
7、 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由解：(1)因为 a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0，2时，f(x)恒有意义，即 x0，2时，3ax0 恒成立所以 32a0，所以 a32.又 a0 且 a1，所以 a(0，1)1，32.(2)t(x)3ax，因为 a0，所以函数 t(x)为减函数因为 f(x)在区间1，2上为减函数，所以 ylogat 为增函数，所以 a1，x1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a
8、)，所以32a0，loga（3a）1，即a32，a32.故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1.1确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行2如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误3在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件变式训练1(2016全国卷)若 ab0，0c1，则()AlogaclogbcBlogcalogcbCaccb解析：由 yxc 与 ycx 的单调性知，C，D 不正确；因
9、为 ylogcx 是减函数，得 logcalogcb，B 正确；logaclg clg a，logbclg clg b，因为 0c1，所以 lg cb0，所以 lg alg b，但不能确定 lg a，lg b 的正负，所以 logac 与 logbc 的大小不能确定答案：B2设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间0，32 上的最大值解：(1)因为 f(1)2，所以 loga42(a0，a1)，所以 a2.由1x0，3x0，得1x3，所以函数 f(x)的定义域为(1，3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，所以当 x(1，1时，f(x)是增函数；当 x(1，3)时，f(x)是减函数，故函数 f(x)在0，32 上的最大值是 f(1)log242.
