1、四川省雅安中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 一选择题(共12小题)1准线方程为y2的抛物线的标准方程是()Ax216yBx28yCx216yDx28y2程序框图符号“”可用于()A赋值a6B输出a5C输入a5D判断a63椭圆的左右焦点分别为F1,F2,一条直线经过F1与椭圆交于A,B两点,则ABF2的周长为()AB6CD124如果方程+1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A4m5BmC4mDm55若直线Ax+By+C0(A2+B20)经过第一、二、四象限,则系数A,B,C满足条件为()AA,B,C同号BAC0,BC0CAC0,BC0DAB0,AC06已知直线ax+y2
2、+a0在两坐标轴上的截距相等,则实数a()A1B1C2或1D2或17已知椭圆C:x2+1(n0)的离心率为,则n的值为()A或4BC或2D8已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是()ABC或D或9已知椭圆C1:+y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则e1e2的值为()A1BCD10已知P为直线2x+y50上的动点,过点P作圆C:(x1)2+(y+2)22的一条切线,切点为Q,则PCQ面积的最小值是()ABC3D611已知圆C与直线x+y+30相切,直线mx+
3、y+10始终平分圆C的面积,则圆C方程为()Ax2+y22y2Bx2+y2+2y2Cx2+y22y1Dx2+y2+2y112已知椭圆C的焦点为F1(2,0),F2(2,0),过F2的直线与C交于A,B两点若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则C的方程为()A+1B+1C+1D+1二填空题(共4小题,每题5分)13直线x+2y30与x轴交点的横坐标是 14下面程序的运行结果是 15某曲线的方程为2,若直线l:与该曲线有公共点,则实数k的取值范围是 16已知直线l经过抛物线C:y的焦点F,与抛物线交于A,B,且xA+xB8,点D是弧AOB(O为原点)上一动点,以D为圆心的圆与直线l相切,当
4、圆D的面积最大时,圆D的标准方程为 三解答题(共6小题)17(10分)已知三角形ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,8)(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)求BC边上的中线所在直线的方程18(12分)已知双曲线C1的离心率等于,且与椭圆C2:有公共焦点,(1)求双曲线C1的方程;(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距,求该抛物线方程19(12分)已知圆C:x2+y22x+my0经过点(3,1)(1)若直线l:2xy+t0与圆C相切,求t的值;(2)若圆M:(x6)2+(y10)2r2(r0)与圆C没有公共点,求r的取值范围20(12分)已知椭圆的长轴长为4,
5、且短轴长是长轴长的一半(1)求椭圆的方程;(2)经过点M(1,)作直线l,交椭圆于A,B两点如果M恰好是线段AB的中点,求直线l的方程21(12分)设抛物线C:y22px(P0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|6()求抛物线C的标准方程;()若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程22(12分)椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1()求椭圆C的方程;()已知点M(0,1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆 C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的
6、斜率为k1,直线MB的斜率为k2,证明:k1+k2为定值,并求出该定值高二上期半期数学试卷参考答案与试题解析一选择题(共12小题)1选:D2选:D3选:C4选:D5选:D6选:D7选:A8已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是()ABC或D或【解答】解:由于一条渐近线方程为,可设双曲线的方程为2x2y2m(m0),当m0时,双曲线方程即为,离心率e;当m0时,双曲线方程即为,离心率e故选:D9已知椭圆C1:+y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则e1e2的值
7、为()A1BCD【解答】解:椭圆C1:+y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,可得m21n2+1,即n2m22,若双曲线顶点是椭圆长轴的两个三等分点,可得nm,由可得m,n,则e1e2故选:C10已知P为直线2x+y50上的动点,过点P作圆C:(x1)2+(y+2)22的一条切线,切点为Q,则PCQ面积的最小值是()AB C3 D6【解答】解:点P是直线l:2x+y50上的动点,则圆心C(1,2)到直线l的距离为d;则|PC|的最小值为,过点P作圆C的切线,切点为Q,连接CQ,则CQPC;所以PCQ的面积等于CQPQ,即PCQ面积的最小值为故选:A11已知圆C与直线x+y+30
8、相切,直线mx+y+10始终平分圆C的面积,则圆C方程为()A x2+y22y2Bx2+y2+2y2Cx2+y22y1Dx2+y2+2y1【解答】解:直线mx+y+10始终平分圆C的面积,直线mx+y+10始终过圆的圆心(0,1),又圆C与直线x+y+30相切,则圆的半径r圆C的方程为x2+(y+1)22,即x2+y2+2y1故选:D12已知椭圆C的焦点为F1(2,0),F2(2,0),过F2的直线与C交于A,B两点若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则C的方程为()A+1 B+1 C+1 D+1【解答】解:|AF2|2|BF2|,|AB|3|BF2|,又|AB|BF1|,|BF1|3
9、|BF2|,又|BF1|+|BF2|2a,|BF2|,|AF2|a,|BF1|a,|AF1|+|AF2|2a,|AF1|a,|AF1|AF2|,A在y轴上在RtAF2O中,cosAF2O,在BF1F2中,由余弦定理可得cosBF2F1cosAF2O+cosBF2F10,可得+0,解得a212b2a2c21248椭圆C的方程为:+1故选:A二填空题(共4小题)13直线x+2y30与x轴交点的横坐标是314下面程序的运行结果是1015某曲线的方程为2,若直线l:ykx+1与该曲线有公共点,则实数k的取值范围是(,2,+)【解答】解:直线ykx+1k(x)+1,定点(,1),曲线是以点(1,0)和(
10、1,0)为端点的线段,故当直线l与曲线有交点时,如图所示,故直线l的取值范围为(,2,+)故答案为(,2,+)16已知直线l经过抛物线C:y的焦点F,与抛物线交于A,B,且xA+xB8,点D是弧AOB(O为原点)上一动点,以D为圆心的圆与直线l相切,当圆D的面积最大时,圆D的标准方程为(x4)2+(y4)25【解答】解:抛物线的标准方程为x24y,抛物线的焦点坐标为F(0,1),直线AB的斜率k(xA+xB)2,则l的方程为y2x+1,即2xy+10,点D到直线l距离最大时,圆D的面积最大,令y2,解得x4,此时y4,即D(4,4)到直线l距离最大,此时d,所以所求圆的标准方程为(x4)2+(
11、y4)25,故答案为:(x4)2+(y4)25三解答题(共6小题)17已知三角形ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,8)(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)求BC边上的中线所在直线的方程解:(1)BC边所在直线的斜率为(1分)则BC边上的高所在直线的斜率为(3分)由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为:y06(x4)化简得:y6x24(5分) (2)设BC的中点E(x0,y0),由中点坐标公式得,即点(7分)由直线的两点式方程可知直线AE的方程为:(9分)化简得:(10分)18已知双曲线C1的离心率等于,且与椭圆C2:有公共焦点,(1)求双曲线C1的方程;(2)若抛物线
12、的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距,求该抛物线方程解:(1)双曲线C1的离心率等于,椭圆C2:的焦点(,0),c,a2,b1,所以双曲线方程为:(2)椭圆C2:的焦距为:2,抛物线的焦点到准线的距离等于2抛物线方程为:y2x,x24y19 已知圆C:x2+y22x+my0经过点(3,1)(1)若直线l:2xy+t0与圆C相切,求t的值;(2)若圆M:(x6)2+(y10)2r2(r0)与圆C没有公共点,求r的取值范围【解答】解:(1)圆经过点(3,1),32+(1)223m0,解得m4,圆的方程为x2+y22x+4y0,标准方程为(x1)2+(y+2)25则圆心C(1,2),半径,若直线与圆
13、相切,则圆心到直线2xy+t0的距离|4+t|5,4+t5或4+t5,解得t1或t9(2)若圆M与圆C没有公共点,两圆位置关系可以是外离,或内含当两圆外离时,两圆圆心距|CM|R+rM(6,10),此时,且r0,当两圆内含时,两圆圆心距|CM|rR,此时,综上所述,20已知椭圆的长轴长为4,且短轴长是长轴长的一半(1)求椭圆的方程;(2)经过点M(1,)作直线l,交椭圆于A,B两点如果M恰好是线段AB的中点,求直线l的方程解:(1)根据题意,椭圆的长轴长为4,且短轴长是长轴长的一半即2a4,则a2,2b(2a)2,则b1,故椭圆的方程为:;(2)由(1)得椭圆的方程为:,设直线l的方程为:yk
14、(x1),将直线yk(x1)代入椭圆,得(1+4k2)x24k(2k1)x+(2k1)240,设A(x1,y1),B(x2,y2)则,M(1,)恰好是线段AB的中点,x1+x22,解得k则直线l的方程为y(x1),变形可得x+2y2021设抛物线C:y22px(P0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|6()求抛物线C的标准方程;()若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程解:(I)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点M横坐标为x2,x1+x24,又|AF|+|BF|x1+x2+P4+P6,解得P2,抛物线C
15、的标准方程为y24x;(II)由(I)知,抛物线C的焦点为F(1,0),故可设直线的方程为yk(x1),k0,联立方程组,消去y,得k2x2(2k2+4)x+k20,x1+x24,解得k,直线l的方程为y(x1)22椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1()求椭圆C的方程;()已知点M(0,1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆 C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为k2,证明: k1+k2为定值,并求出该定值解:()将xc代入方程中,由a2c2b2可得,所以弦长为,所以,解得,所以椭圆C的方程为:;()若直线l的斜率不存在,则直线的方程为x2,且直线与椭圆只有一个交点,不符合题意;设直线l的斜率为k,若k0,则直线l与椭圆只有一个交点,不符合题意,故k0;所以直线l的方程为y1k(x2),即ykx2k+1,直线l的方程与椭圆的标准方程联立得:,消去y得:(1+4k2)x28k(2k1)x+16k216k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,k1+k2+2k,把代入上式,得;命题得证