1、四川省雅安中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 一选择题（共12小题）1准线方程为y2的抛物线的标准方程是（）Ax216yBx28yCx216yDx28y2程序框图符号“”可用于（）A赋值a6B输出a5C输入a5D判断a63椭圆的左右焦点分别为F1，F2，一条直线经过F1与椭圆交于A，B两点，则ABF2的周长为（）AB6CD124如果方程+1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A4m5BmC4mDm55若直线Ax+By+C0（A2+B20）经过第一、二、四象限，则系数A，B，C满足条件为（）AA，B，C同号BAC0，BC0CAC0，BC0DAB0，AC06已知直线ax+y2
2、+a0在两坐标轴上的截距相等，则实数a（）A1B1C2或1D2或17已知椭圆C：x2+1（n0）的离心率为，则n的值为（）A或4BC或2D8已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）ABC或D或9已知椭圆C1：+y21（m1）与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1e2的值为（）A1BCD10已知P为直线2x+y50上的动点，过点P作圆C：（x1）2+（y+2）22的一条切线，切点为Q，则PCQ面积的最小值是（）ABC3D611已知圆C与直线x+y+30相切，直线mx+
3、y+10始终平分圆C的面积，则圆C方程为（）Ax2+y22y2Bx2+y2+2y2Cx2+y22y1Dx2+y2+2y112已知椭圆C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A+1B+1C+1D+1二填空题（共4小题，每题5分）13直线x+2y30与x轴交点的横坐标是 14下面程序的运行结果是 15某曲线的方程为2，若直线l：与该曲线有公共点，则实数k的取值范围是 16已知直线l经过抛物线C：y的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当
4、圆D的面积最大时，圆D的标准方程为 三解答题（共6小题）17（10分）已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程18（12分）已知双曲线C1的离心率等于，且与椭圆C2：有公共焦点，（1）求双曲线C1的方程；（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程19（12分）已知圆C：x2+y22x+my0经过点（3，1）（1）若直线l：2xy+t0与圆C相切，求t的值；（2）若圆M：（x6）2+（y10）2r2（r0）与圆C没有公共点，求r的取值范围20（12分）已知椭圆的长轴长为4，
5、且短轴长是长轴长的一半（1）求椭圆的方程；（2）经过点M（1，）作直线l，交椭圆于A，B两点如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程21（12分）设抛物线C：y22px（P0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|6（）求抛物线C的标准方程；（）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程22（12分）椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（）求椭圆C的方程；（）已知点M（0，1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆 C相交于A，B两点（异于点M），记直线MA的
6、斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值高二上期半期数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1选：D2选：D3选：C4选：D5选：D6选：D7选：A8已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）ABC或D或【解答】解：由于一条渐近线方程为，可设双曲线的方程为2x2y2m（m0），当m0时，双曲线方程即为，离心率e；当m0时，双曲线方程即为，离心率e故选：D9已知椭圆C1：+y21（m1）与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1e2的值
7、为（）A1BCD【解答】解：椭圆C1：+y21（m1）与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，可得m21n2+1，即n2m22，若双曲线顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得nm，由可得m，n，则e1e2故选：C10已知P为直线2x+y50上的动点，过点P作圆C：（x1）2+（y+2）22的一条切线，切点为Q，则PCQ面积的最小值是（）AB C3 D6【解答】解：点P是直线l：2x+y50上的动点，则圆心C（1，2）到直线l的距离为d；则|PC|的最小值为，过点P作圆C的切线，切点为Q，连接CQ，则CQPC；所以PCQ的面积等于CQPQ，即PCQ面积的最小值为故选：A11已知圆C与直线x+y+30
8、相切，直线mx+y+10始终平分圆C的面积，则圆C方程为（）A x2+y22y2Bx2+y2+2y2Cx2+y22y1Dx2+y2+2y1【解答】解：直线mx+y+10始终平分圆C的面积，直线mx+y+10始终过圆的圆心（0，1），又圆C与直线x+y+30相切，则圆的半径r圆C的方程为x2+（y+1）22，即x2+y2+2y1故选：D12已知椭圆C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A+1 B+1 C+1 D+1【解答】解：|AF2|2|BF2|，|AB|3|BF2|，又|AB|BF1|，|BF1|3
9、|BF2|，又|BF1|+|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|a，|AF1|+|AF2|2a，|AF1|a，|AF1|AF2|，A在y轴上在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1cosAF2O+cosBF2F10，可得+0，解得a212b2a2c21248椭圆C的方程为：+1故选：A二填空题（共4小题）13直线x+2y30与x轴交点的横坐标是314下面程序的运行结果是1015某曲线的方程为2，若直线l：ykx+1与该曲线有公共点，则实数k的取值范围是（，2，+）【解答】解：直线ykx+1k（x）+1，定点（，1），曲线是以点（1，0）和（
10、1，0）为端点的线段，故当直线l与曲线有交点时，如图所示，故直线l的取值范围为（，2，+）故答案为（，2，+）16已知直线l经过抛物线C：y的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x4）2+（y4）25【解答】解：抛物线的标准方程为x24y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k（xA+xB）2，则l的方程为y2x+1，即2xy+10，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y2，解得x4，此时y4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d，所以所求圆的标准方程为（x4）2+（
11、y4）25，故答案为：（x4）2+（y4）25三解答题（共6小题）17已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程解：（1）BC边所在直线的斜率为（1分）则BC边上的高所在直线的斜率为（3分）由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：y06（x4）化简得：y6x24（5分） （2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得，即点（7分）由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：（9分）化简得：（10分）18已知双曲线C1的离心率等于，且与椭圆C2：有公共焦点，（1）求双曲线C1的方程；（2）若抛物线
12、的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程解：（1）双曲线C1的离心率等于，椭圆C2：的焦点（，0），c，a2，b1，所以双曲线方程为：（2）椭圆C2：的焦距为：2，抛物线的焦点到准线的距离等于2抛物线方程为：y2x，x24y19 已知圆C：x2+y22x+my0经过点（3，1）（1）若直线l：2xy+t0与圆C相切，求t的值；（2）若圆M：（x6）2+（y10）2r2（r0）与圆C没有公共点，求r的取值范围【解答】解：（1）圆经过点（3，1），32+（1）223m0，解得m4，圆的方程为x2+y22x+4y0，标准方程为（x1）2+（y+2）25则圆心C（1，2），半径,若直线与圆
13、相切，则圆心到直线2xy+t0的距离|4+t|5，4+t5或4+t5，解得t1或t9（2）若圆M与圆C没有公共点，两圆位置关系可以是外离，或内含当两圆外离时，两圆圆心距|CM|R+rM（6，10），此时，且r0，当两圆内含时，两圆圆心距|CM|rR,此时，综上所述，20已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半（1）求椭圆的方程；（2）经过点M（1，）作直线l，交椭圆于A，B两点如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程解：（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半即2a4，则a2，2b（2a）2，则b1，故椭圆的方程为：；（2）由（1）得椭圆的方程为：，设直线l的方程为：yk
14、（x1），将直线yk（x1）代入椭圆，得（1+4k2）x24k（2k1）x+（2k1）240，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，M（1，）恰好是线段AB的中点，x1+x22，解得k则直线l的方程为y（x1），变形可得x+2y2021设抛物线C：y22px（P0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|6（）求抛物线C的标准方程；（）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB中点M横坐标为x2，x1+x24，又|AF|+|BF|x1+x2+P4+P6，解得P2，抛物线C
15、的标准方程为y24x；（II）由（I）知，抛物线C的焦点为F（1，0），故可设直线的方程为yk（x1），k0，联立方程组，消去y，得k2x2（2k2+4）x+k20，x1+x24，解得k，直线l的方程为y（x1）22椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（）求椭圆C的方程；（）已知点M（0，1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆 C相交于A，B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明： k1+k2为定值，并求出该定值解：（）将xc代入方程中，由a2c2b2可得，所以弦长为，所以，解得，所以椭圆C的方程为：；（）若直线l的斜率不存在，则直线的方程为x2，且直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；设直线l的斜率为k，若k0，则直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k0；所以直线l的方程为y1k（x2），即ykx2k+1，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：，消去y得：（1+4k2）x28k（2k1）x+16k216k0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，k1+k2+2k，把代入上式，得；命题得证