1、山东省济南市莱芜第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题（含解析）本试卷共4页.总分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、填写在答题卡上.2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm中性笔将答案写在答题卡对应题目的规定区域.答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效.3.考试结束后只需将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】A【解析】【分析】求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合，再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，则，解得；由，解得；故.故选：A.【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设z=x+yi，在复平面内对应点位于第四象限故选D3. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合指数，对数函数的性质可作快速判断，即可求解【详解】由题易知：，故选：A【
3、点睛】本题考查由指数、对数函数的性质比较大小，属于基础题4. 设是非零向量，则“”是“” 成立的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合共线向量、单位向量的知识，以及充分、必要条件的概念，判断出正确选项.【详解】依题意是非零向量，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，当时，的方向相同，所以，当时，的方向相同，但不一定有，如也符合，所以“”是“” 成立的充分不必要条件.故选：B【点睛】本小题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载
4、堉发明的.明万历十二年，他写成律学新说，提出了十二平均律的理论，这成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设公比为，根据等比数列的通项公式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，根据题意可得又，所以，所以，所以插入的第四个数，故选：D6. 函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为，当时
5、，排除B和C；当时，排除A.故选：D【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.7. 已知中，则的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，根据正弦定理，余弦定理化简整理可得：，结合已知，解得，可得为锐角，进而利用余弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求结果【详解】，可得：，整理可得：，又，解得，可得为锐角，可得：，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题8. 已知函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范
6、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到有两不等实根，令，对其求导，用导数的方法研究其单调性及最值，即可得出结果.【详解】由得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与有两不同交点，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当上时，即，所以单调递增；当时，即，所以单调递减；所以，又时，；时，所以为使与有两不同交点，只需.故选：D.【点睛】思路点睛：由函数极值点个数求参数时，一般需要对函数求导，得到导函数对应的方程的根的个数，将对应的方程分离参数，构造函数，将问题转为直线与新函数交点个数的问题，再由导数的
7、方法研究新函数的单调性与极值等，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对得3分；有选错的得0分.9. 设正实数，满足，则（ ）A. 有最小值4B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项.【详解】A，取等号时，故正确；B，取等号时，所以有最大值，故错误；C，所以，取等号时，故正确；D，取等号时，故正确，故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须
8、为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 已知数列an是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A. 数列an2是等比数列B. 若a3=2，a7=32，则a5=8C. 若a1a2a3，则数列an是递增数列D. 若数列an的前n和，则r=1【答案】AC【解析】【分析】在A中，数列an2是等比数列；在B中，a5=8；在C中，若a1a21，数列an是递增数列；在D中，写出，由等比
9、中项可求出r=.【详解】解：由数列an是等比数列，设公比为，知：在A中，是常数，数列an2是等比数列，故A正确；在B中，若a3=2，a7=32，则a5=，故B错误；在C中，若a1a2a3，则，当时，可得，解得，且中各项为正数，所以，此时数列an递增数列；当时，可得，解得，此时中各项为负数，所以，此时数列an是递增数列，综上所述，C正确；在D中，若数列an的前n和Sn=3n1+r，则a1=S1=1+r，a2=S2S1=(3+r)(1+r)=2，a3=S3S2=(9+r)(3+r)=6，a1，a2，a3成等比数列，4=6(1+r)，解得r=，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，考
10、查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.11. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）A. 函数的最大值为2B. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为C. 函数图象的对称轴方程为D. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行【答案】BC【解析】【分析】根据函数的图象求得函数的解析式，求出，写出函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，结合选项逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，所以，可得，所以，因为且，可得，即，所以对于A中，函数，所以A不正确；对于B中，由函数，可得，可得的最小值为，所以B正确；对于C中，令
11、，解得，所以函数图象的对称轴方程为，所以C正确；对于D中，由导数的几何意义，过点的切线斜率为，可得，所以不存在斜率为的切线，所以D不正确.故选：BC.【点睛】由三角函数的图象确定三角函数的解析式的策略：（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定12. 如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A. 存在某个位置，使得B. 翻折过程中，的长是定值C. 若，则D. 若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的
12、表面积是【答案】BD【解析】【分析】对于选项A，取中点，取中点，连结，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断；对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可；对于选项C，取中点，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可.【详解】如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，,则易知，由翻折可知，对于选项A，易得，则、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误； 对于选项B，易得， 在中，由余弦定理得，整理得，故为定值，故B正确；如图2，取中点，取中点，连结，对于选项
13、C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若正数a，b满足，则的最小值为_.【答案】16【解析】【分析】利用基本不等式直接得解.【详解】因为正数a，b满足，当且仅当且，即，时取等号，解可得，则的最小值16.故答案为：16.【点睛】利用基本(均值)不等式解题
14、一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件14. 在中，角所对的边分别为，已知则_.【答案】【解析】【分析】根据，利用正弦定理得到，从而，代入，求得角B，从而求得边b，再由余弦定理求解.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以所以，由余弦定理得：，故答案为：1【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15. 已知函数，.对于任意，且，必有，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先利用导数判断出在内单调递增，进而可得在内单调
15、递增，转化为在恒成立，分析不等式求最值即可得解.【详解】定义城为.故在内单调递增.对于任意，不妨设，则.故，在内单调递增.故在恒成立，即恒成立，可知.的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数单调性及已知函数单调性求参数范围，属于基础题.16. 已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，_；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_【答案】；或【解析】试题分析：由递推公式及得，开始循环，因此；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则（为正整数），即，因此是5的约数，或，时，时，因此，或符合题意考点：数列的递推公式，数列的周期性，归纳与推理四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应
16、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，讨论函数的单调性【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性.【详解】（1）当时，又，所以曲线在处的切线方程为（2）（），当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增【点睛】本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数
17、的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性18. 已知函数=4tan xsin（）cos（） .（）求f（x）的定义域与最小正周期；（）讨论f（x）在区间上的单调性.【答案】（），；（）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（）根据（）的结论，研究函数f（x）在区间上单调性.试题解析：（）的定义域为.所以, 的最小正周期（）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、
18、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为yAsin（x）k的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比
19、数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）. .（）.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式
20、及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.20. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为正三角形，D为的中点，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据为等腰直角三角形，D为中点，得到，再根据为正三角形，D为中点，得到.然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）设三棱锥的高为h，由 ， 求得h，由以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设为平面的一个法向量，又是平面的一个法
21、向量，然后由求解.【详解】（1）为等腰直角三角形，D为中点，.，又为正三角形，D为中点，.又，平面，平面.又平面，.（2）设三棱锥的高为h，.，.又，平面.如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，.设为平面的一个法向量，则，即令，得.又是平面的一个法向量，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角21. 如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45的线段DE和DF，与AB和
22、AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得，求得，从而有，再根据条件得，从而求出答案【详解】解：在BDE中，BED=，由正弦定理得，在DCF中，由正弦定理得， ，AEDF为四边形区域，花卉种植面积取值范围是【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题22. 已知函数.（1）当时，设函数的最小值为，证明：；（2）若函数有两个极值点，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的方法判定其单调性，得出，令，用导函数的方法求其最大值，即可得出结论成立；（2）对函数求导，根据导数方法判定其单调性，得到，推出，令，对其求导，根据导数的方法求出最小，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）由得，令，解得，当时，即函数单调递增；当时，即函数单调递减；，所以，令，则，令，解得，当时，即函数单调递增；当时，即函数单调递减；，当时，；（2）由得，令，令，解得，当时，即单调递增；当时，即单调递减；，又函数有两个极值点，且，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，又，令，则令，在上单调递增，在上单调递增，即，.【点睛】本题主要考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.
