1、云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二数学9月月考试题(含解析)一、选择题(本大题共12小题,共60分)1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A,两集合取交集即可.【详解】因为,所以故选:D【点睛】本题考查集合的交集运算,涉及一元二次不等式,属于基础题.2. 过直线与的交点,且垂直于直线的直线方程是( )A. B C. D. 【答案】A【解析】【分析】两直线方程联立求得交点坐标;根据垂直关系求得斜率,可写出直线点斜式方程,整理可得结果.【详解】由得两条直线交点坐标为:又所求直线与垂直 直线斜率为:所求直线为:,即:本题正确
2、选项:【点睛】本题考查直线方程的求解问题,关键是能够根据垂直关系求得斜率,同时联立求得交点坐标.3. 等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为( )A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差,再根据等差数列的前项和公式计算可得结果.【详解】设an的公差为d,因为a2,a3,a6成等比数列,所以即(a12d)2(a1d)(a15d),所以,因为,所以所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前项和公式,属于基础题
3、.4. 圆与圆公切线的条数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分别求出圆和圆的半径,然后计算两圆的圆心距|,判断两圆的位置关系,即可求解【详解】解:根据题意,圆:即,其圆心为,半径;圆即,其圆心为,半径;两圆的圆心距|两圆外切;其共切线条数有3条;故答案选:C【点睛】本题考查两圆的位置关系,属于基础题5. 已知两条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中错误的为( )A. 若,则B. 若,则C. 若,且,则D. 若,则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行性质定理以及面面垂直判定定理判断A; 根据平面法向量判断B;根据线面平行判定定理与性质定理判断C;根据线面位置
4、关系判断D.【详解】若,则,因为,所以,故A正确;若,所以法向量相同或平行,因为,所以,故B正确;若,则;若,则,所以,进而有,又,所以,则,故C正确;若,则或,故D错误;故选:D【点睛】本题考查线面位置关系判断、线面平行判定定理与性质定理、面面垂直判定定理,考查空间想象能力以及判断能力,属基础题.6. 若则下列不等式中成立的是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的单调性,即可得出三角函数值的范围,从而可比较大小.【详解】因为在单调递增,所以当时,因为在单调递减,所以当时,因为在单调递增,所以当时,所以,故选:C【点睛】本题主要考查了利用三角函数的单调性以及三角函
5、数的值域,利用值域比较大小,属于基础题.7. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等,则该直线方程为()A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分直线过原点和不过原点两种情况,设出直线方程,将点坐标代入即可求解.【详解】当直线过原点时,方程为:,即;当直线不过原点时,设直线的方程为:且,把点代入直线的方程可得,故直线方程是综上可得所求的直线方程为:或,故选:C【点睛】本题主要考查了求直线的方程,注意分截距是否为0,属于基础题.8. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把看成一个整体,利用,可计算出答案.【详解】,故选:D.【点晴】此题需要熟练掌握二倍角公式和
6、诱导公式,属于基础题.9. 如图,点P在以为直径的半圆弧上,点P沿着BA运动,记将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数,则的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意列出函数解析式,再分析图象即可得出答案【详解】由题意可知,为直角三角形,所以,所以,所以.当时函数取到最大值,排除选项B,C,函数解析式为正弦型,故排除选项A,所以函数图象大致为D故选:D【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,本题属于中档题10. 已知正方形的边长为2,点P满足,则()A. 3B. 1C. D. 1【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直
7、角坐标系,利用向量的坐标运算求得.【详解】以点A为坐标原点,、所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、,则点,因此,故选:B 【点睛】本小题主要考查向量运算的坐标表示,属于基础题.11. 已知点,直线,在直线l上找一点P使得最小,则这个最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A关于直线的对称点,然后根据两点之间直线最短进行求解即可.【详解】解:设A关于直线的对称点的坐标为,则,最小故选:B【点睛】本题考查点关于直线对称以及根据两点间的距离公式求最值,属于基础题12. 定义在R上的奇函数满足,且当时,则下列结论正确的是()A. B. C. D. 【
8、答案】C【解析】【分析】先确定函数的周期为4,再化简得到,接着判断当时函数单调递增,最后判断即可【详解】解:因为在R上是奇函数,且,所以,故,的周期为4因此,又时,,单调递增,所以,故故选:C【点睛】本题考查利用函数的奇偶性对称性的应用、利用函数的周期性求函数值、利用函数的单调性判断函数值的大小关系,是中档题.二、填空题(本大题共4小题,共200分)13. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_【答案】7【解析】【分析】作出可行域,利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为,所以,易知截距越大,则越大,平移直线,当经过A点时截距最大,此时z最大,由,得,所以.
9、故答案为:7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.14. 计算:_【答案】2.1【解析】【分析】根据指数、对数运算公式化简求得表达式的值.【详解】.故答案为:【点睛】本小题主要考查指数、对数运算,属于基础题.15. 已知直线l过点且与线段有交点,其中,则直线l的斜率k的取值范围是_,倾斜角的取值范围是_【答案】 (1). 1,1 (2). 【解析】【分析】由于直线与连接,的线段总有公共点,可得,再利用斜率计算公式即可得出,利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出【详解】,直线与连接,的线段总有公共点,直线的斜率的取
10、值范围是,倾斜角的取值范围是故答案为:,【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式和斜率的意义、倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性,属于基础题16. 已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的表面积为_【答案】【解析】【分析】圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球,设球与底面相切于,与侧面相切于点B,利用相似三角形即可求出内切球的半径,从而求出内切球的表面积.【详解】如图,由题意可知,圆锥内半径最大的球满足与底面相切于,与侧面相切于点B,则 ,所以 ,设球的半径为r,则,所以,解得,故.故答案为:【点睛】本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法,属于中档题.三、解答题(本大题共6小题,共
11、70分)17. 已知平面直角坐标系中,点O为原点,(1)若,求实数m的值;(2)若A,B,C三点共线,求实数m的值【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用向量的坐标表示先求出的坐标,结合的坐标表示可得实数m的值;(2)用A,B,C三点表示出两个向量,结合向量共线可得实数m的值【详解】(1)点O为原点,则,;(2)A,B,C三点共线,由,【点睛】本题主要考查平面向量的运算,明确向量垂直,平行的坐标表示是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.18. 在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且(1)求;(2)若的面积为,求的周长【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由
12、正弦定理角化边可得,由余弦定理计算得出;(2)计算出的值,代入三角形的面积公式,求出和,进而可得三角形的周长【详解】(1)因,可得,所以,因为,所以(2)因为,所以因为的面积所以因为,所以因为,所以故的周长为【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查三角形的面积公式,属于中档题19. 已知数列是等差数列,(1)求;(2)若数列满足,设,求证:数列是等比数列;求数列的前n项和【答案】(1);(2)证明见解析;.【解析】【分析】(1)根据已知条件求得,由此求得.(2)求得,利用配凑法得到,由此证得数列等比数列.利用分组求和法求得.【详解】(1)由题设知,解得,(2)证明:由(1)知,且所以
13、数列是首项为3,公比为3的等比数列解:由得,数列的前n项和【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式,考查证明等比数列,考查分组求和法.20. 如图,在三棱锥中,侧棱底面,D为的中点,(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)连接,设与相交于点O,连接,证得,再结合线面平行的判定定理,即可证得平面;(2)由(1)知,得到为异面直线与所成角,结合余弦定理,即可求解.【详解】(1)证明:连接,设与相交于点O,连接,四边形是平行四边形,点O为的中点,D为的中点,为的中位线,平面,平面,平面(2)解:由(1)知,则为异面直线与所成角,在正方形
14、中,由已知求得则,在长方形中,由已知求得,则,在中,则,异面直线与所成角余弦值为;【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明,以及异面直线所成角的求解,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及异面直线所成角的解法是解答的关键,着重考查推理与运算能力.21. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1,函数(其中且),(1)求和的解析式;(2)若对恒成立,求实数的取值范围【答案】(1),; (2).【解析】【分析】(1)根据二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可求出的解析式,由代入解析式即可解得的解析式(2)判断函数的解析式,由对恒成立,即:利用复合函数的单调性即可求出所得【详解】
15、(1),可得是开口向上,对称轴为的二次函数.区间单调递增可得:即,解得:,.(2)由(1)可知对恒成立,即:.在上单调递减,在单调递增,.是减函数,故:.【点睛】本题考查代入法求函数解析式,函数恒成立问题,二次函数的性质,难度一般.22. 已知圆过两点, ,且圆心在直线上()求圆的标准方程;()直线过点且与圆有两个不同的交点, ,若直线的斜率大于0,求的取值范围;()在()的条件下,是否存在直线使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由【答案】()(x1)2+y2=25;() ;()x+2y1=0.【解析】试题分析:()圆心C是MN的垂直平分线与直线2x-y-2=0的
16、交点,CM长为半径,进而可得圆的方程;()直线l过点(-2,5)且与圆C有两个不同的交点,则C到l的距离小于半径,进而得到k的取值范围;()求出AB的垂直平分线方程,将圆心坐标代入求出斜率,进而可得答案试题解析:(I)MN的垂直平分线方程为:x2y1=0与2xy2=0联立解得圆心坐标为C(1,0)R2=|CM|2=(31)2+(30)2=25圆C的标准方程为:(x1)2+y2=25(II)设直线的方程为:y5=k(x+2)即kxy+2k+5=0,设C到直线l的距离为d,则d=由题意:d5 即:8k215k0k0或k又因为k0k的取值范围是(,+)(III)设符合条件的直线存在,则AB的垂直平分线方程为:y+1=(x3)即:x+ky+k3=0弦的垂直平分线过圆心(1,0)k2=0 即k=2k=2故符合条件的直线存在,l的方程:x+2y1=0.