1、云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二数学9月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，两集合取交集即可.【详解】因为，所以故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题.2. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ )A. B C. D. 【答案】A【解析】【分析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由得两条直线交点坐标为：又所求直线与垂直 直线斜率为：所求直线为：，即：本题正确
2、选项：【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.3. 等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（ ）A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前项和公式计算可得结果.【详解】设an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以即(a12d)2(a1d)(a15d)，所以，因为，所以所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题
3、.4. 圆与圆公切线的条数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分别求出圆和圆的半径，然后计算两圆的圆心距|，判断两圆的位置关系，即可求解【详解】解：根据题意，圆：即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距|两圆外切；其共切线条数有3条；故答案选：C【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题5. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，且，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行性质定理以及面面垂直判定定理判断A; 根据平面法向量判断B;根据线面平行判定定理与性质定理判断C;根据线面位置
4、关系判断D.【详解】若，则,因为，所以，故A正确；若，所以法向量相同或平行，因为，所以，故B正确；若，则；若，则,所以，进而有，又，所以，则，故C正确；若，则或，故D错误；故选：D【点睛】本题考查线面位置关系判断、线面平行判定定理与性质定理、面面垂直判定定理，考查空间想象能力以及判断能力，属基础题.6. 若则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的单调性，即可得出三角函数值的范围，从而可比较大小.【详解】因为在单调递增，所以当时，因为在单调递减，所以当时，因为在单调递增，所以当时，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了利用三角函数的单调性以及三角函
5、数的值域，利用值域比较大小，属于基础题.7. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，将点坐标代入即可求解.【详解】当直线过原点时，方程为：，即；当直线不过原点时，设直线的方程为：且，把点代入直线的方程可得，故直线方程是综上可得所求的直线方程为：或，故选：C【点睛】本题主要考查了求直线的方程，注意分截距是否为0，属于基础题.8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把看成一个整体，利用，可计算出答案.【详解】，故选：D.【点晴】此题需要熟练掌握二倍角公式和
6、诱导公式，属于基础题.9. 如图，点P在以为直径的半圆弧上，点P沿着BA运动，记将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案【详解】由题意可知，为直角三角形，所以，所以，所以.当时函数取到最大值，排除选项B,C，函数解析式为正弦型，故排除选项A，所以函数图象大致为D故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题属于中档题10. 已知正方形的边长为2，点P满足，则（）A. 3B. 1C. D. 1【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直
7、角坐标系，利用向量的坐标运算求得.【详解】以点A为坐标原点，、所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，故选：B 【点睛】本小题主要考查向量运算的坐标表示，属于基础题.11. 已知点，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A关于直线的对称点，然后根据两点之间直线最短进行求解即可.【详解】解：设A关于直线的对称点的坐标为，则，最小故选：B【点睛】本题考查点关于直线对称以及根据两点间的距离公式求最值，属于基础题12. 定义在R上的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 【
8、答案】C【解析】【分析】先确定函数的周期为4，再化简得到，接着判断当时函数单调递增，最后判断即可【详解】解：因为在R上是奇函数，且，所以，故，的周期为4因此，又时，,单调递增，所以，故故选：C【点睛】本题考查利用函数的奇偶性对称性的应用、利用函数的周期性求函数值、利用函数的单调性判断函数值的大小关系，是中档题.二、填空题（本大题共4小题，共200分）13. 若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，所以.
9、故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14. 计算：_【答案】2.1【解析】【分析】根据指数、对数运算公式化简求得表达式的值.【详解】.故答案为：【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.15. 已知直线l过点且与线段有交点，其中，则直线l的斜率k的取值范围是_，倾斜角的取值范围是_【答案】 (1). 1，1 (2). 【解析】【分析】由于直线与连接，的线段总有公共点，可得，再利用斜率计算公式即可得出，利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出【详解】，直线与连接，的线段总有公共点，直线的斜率的取
10、值范围是，倾斜角的取值范围是故答案为：，【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式和斜率的意义、倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性，属于基础题16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为_【答案】【解析】【分析】圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球，设球与底面相切于，与侧面相切于点B，利用相似三角形即可求出内切球的半径，从而求出内切球的表面积.【详解】如图，由题意可知，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于，与侧面相切于点B，则 ，所以 ，设球的半径为r，则，所以，解得，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共
11、70分）17. 已知平面直角坐标系中，点O为原点，（1）若，求实数m的值；（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示先求出的坐标，结合的坐标表示可得实数m的值；（2）用A，B，C三点表示出两个向量，结合向量共线可得实数m的值【详解】（1）点O为原点，则，；（2）A，B，C三点共线，由，【点睛】本题主要考查平面向量的运算，明确向量垂直，平行的坐标表示是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且（1）求；（2）若的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由
12、正弦定理角化边可得，由余弦定理计算得出；（2）计算出的值，代入三角形的面积公式，求出和，进而可得三角形的周长【详解】（1）因，可得，所以，因为，所以（2）因为，所以因为的面积所以因为，所以因为，所以故的周长为【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，属于中档题19. 已知数列是等差数列，（1）求；（2）若数列满足，设，求证：数列是等比数列；求数列的前n项和【答案】（1）；（2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得.（2）求得，利用配凑法得到，由此证得数列等比数列.利用分组求和法求得.【详解】（1）由题设知，解得，（2）证明：由（1）知，且所以
13、数列是首项为3，公比为3的等比数列解：由得，数列的前n项和【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式，考查证明等比数列，考查分组求和法.20. 如图，在三棱锥中，侧棱底面，D为的中点，（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，设与相交于点O，连接，证得，再结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由（1）知，得到为异面直线与所成角，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设与相交于点O，连接，四边形是平行四边形，点O为的中点，D为的中点，为的中位线，平面，平面，平面（2）解：由（1）知，则为异面直线与所成角，在正方形
14、中，由已知求得则，在长方形中，由已知求得，则，在中，则，异面直线与所成角余弦值为；【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1，函数(其中且)，（1）求和的解析式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可求出的解析式,由代入解析式即可解得的解析式（2）判断函数的解析式,由对恒成立,即:利用复合函数的单调性即可求出所得【详解】
15、（1）,可得是开口向上，对称轴为的二次函数.区间单调递增可得：即，解得：，.（2）由（1）可知对恒成立，即：.在上单调递减，在单调递增，.是减函数，故：.【点睛】本题考查代入法求函数解析式,函数恒成立问题,二次函数的性质,难度一般.22. 已知圆过两点， ，且圆心在直线上（）求圆的标准方程；（）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（）（x1）2+y2=25；（） ；（）x+2y1=0.【解析】试题分析：（）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x-y-2=0的
16、交点，CM长为半径，进而可得圆的方程；（）直线l过点（-2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围；（）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案试题解析：（I）MN的垂直平分线方程为：x2y1=0与2xy2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）R2=|CM|2=（31）2+（30）2=25圆C的标准方程为：（x1）2+y2=25（II）设直线的方程为：y5=k（x+2）即kxy+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，则d=由题意：d5 即：8k215k0k0或k又因为k0k的取值范围是（，+）（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=（x3）即：x+ky+k3=0弦的垂直平分线过圆心（1，0）k2=0 即k=2k=2故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y1=0.