1、2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，82下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ABy=cosxCy=exDy=ln|x|3已知=（4，2），=（6，y），若，则y等于（）A12B3C3D124“a=1”是“方程x2+y22x+2y+a=0表示圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充
2、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5执行程序框图，如果输入n=5，那么输出的p=（）A24B120C720D14406若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A91B91.5C92D92.57把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（）Ay=sinxBy=sin4xCD8已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）A3BC5D69等差数列an的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD10在ABC
3、中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D11在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交于AB于P，则P点轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线12已知f（x）定义域为（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（x+1）（x1）f（x21）的解集是（）A（0，1）B（1，+）C（1，2）D（2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13命题p：x0R，3x02+4x050，那么P：14若不等式2x2+ax+b0的
4、解集为x|3x2，则a=15已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=16下列结论中：函数有最大值为； 函数y=23x（x0）有最大值24； 若a0，则正确的序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值18设数列an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3a2=12（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn19如
5、图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点（1）求证：PD平面ACE；（2）求证：平面ACE平面PBC20已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e（1，2）若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围21已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=2相切（）求动圆圆心的轨迹C的方程；（）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ22已知函数f（x）=lnxax（aR）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，求函数f（x）在
6、1，2上最小值2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，8【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）B，根据集合的运算求解即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，由韦恩图可知阴影部分
7、表示的集合为（CUA）B，CUA=4，6，7，8，（CUA）B=4，6故选B【点评】本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题2下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ABy=cosxCy=exDy=ln|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可【解答】解：y=在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除A；y=cosx为偶函数，但在（0，+）上不单调，排除B；y=ex在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除C；y=ln|x|的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称，且ln|x|=ln|x|，故y=l
8、n|x|为偶函数，当x0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+）上递增，故选D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法3已知=（4，2），=（6，y），若，则y等于（）A12B3C3D12【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可【解答】解： =（4，2），=（6，y），若，可得4y=12，解得y=3，故选：C【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题4“a=1”是“方程x2+y22x+2y+a=0表示圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不
9、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】二元二次方程表示圆的条件【专题】直线与圆【分析】先由二元二次方程表示圆的条件得到a的不等式，解不等式即可得方程x2+y22x+2y+a=0表示圆的充要条件，再看条件：“a=1”与此充要条件的关系，即可得到结果【解答】解：方程x2+y22x+2y+a=0表示一个圆，则（2）2+224a0，a2，又a=1a2，反之不成立，a=1是方程x2+y22x+2y+a=0表示圆的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系5执
10、行程序框图，如果输入n=5，那么输出的p=（）A24B120C720D1440【考点】循环结构【专题】操作型【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【解答】解：如果输入的n是5，由循环变量k初值为1，那么：经过第一次循环得到p=1，满足kn，继续循环，k=2，经过第二次循环得到p=2，满足kn，继续循环，k=3经过第三次循环得到p=6，满足kn，继续循环，k=4 经过第四次循环得到p=24，满足kn，继续循环，k=5经过第五循环得到p=120，不满足kn，退出循环此时输出p值为120故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次
11、的结果找规律6若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A91B91.5C92D92.5【考点】众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】把茎叶图中的数据按照大小顺序排列，求出这组数据的中位数即可【解答】解：根据茎叶图中的数据，按照大小顺序排列为，87、88、90、91、92、93、94、97；这组数据的中位数是=91.5故选：B【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目7把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（）Ay=sinxBy=s
12、in4xCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据三角函数图象变换的法则进行变换，并化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到f（x）=sin2（x）+=sin2x的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x）=sinx的图象函数y=sinx的图象是函数的图象按题中的两步变换得到的函数的解析式故选：A【点评】本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式着重考查了三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题8已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）A3BC5D6【考点
13、】简单线性规划【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2xy对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z取得最大值5【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（2，1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2xy，将直线l：z=2xy进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=F（2，1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2xy的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题9等差数列an的公差为2，
14、若a1，a2，a4成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项为2，再由等差数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：a1，a2，a4成等比数列，可得a1a4=a22，即有a1（a1+3d）=（a1+d）2，即为a1=d=2，则an的前n项和Sn=na1+n（n1）d=2n+n（n1）=n（n+1）故选A【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于基础题10在ABC中，角A、B
15、、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【专题】计算题【分析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c22bccosA得：3=1+c22c1cos=1+c2c，c2c2=0，c=2或1（舍）解法二：（正弦定理）由=，得： =，sinB=，ba，B=，从而C=，c2=a2+b2=4，c=2【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握11在一张纸上画一个圆，圆
16、心O，并在圆外设一点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交于AB于P，则P点轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线【考点】轨迹方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据ABC是线段MF的垂直平分线可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|PF|=|PO|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹【解答】解：由题意知，AB是线段MF的垂直平分线|MP|=|PF|，|PO|PF|=|PO|PM|=|MO|（定值），又显然|MO|FO|，根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线故选：B【点评】本题主
17、要考查了双曲线的定义的应用考查了学生对双曲线基础知识的理解和应用12已知f（x）定义域为（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（x+1）（x1）f（x21）的解集是（）A（0，1）B（1，+）C（1，2）D（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）（x1）f（x21），构造为g（x+1）g（x21），问题得以解决【解答】解：设g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）+xf（x）=xf（x）+f（x）0，函数g（x
18、）在（0，+）上是减函数，f（x+1）（x1）f（x21），x（0，+），（x+1）f（x+1）（x+1）（x1）f（x21），（x+1）f（x+1）（x21）f（x21），g（x+1）g（x21），x+1x21，解得x2故选：D【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13命题p：x0R，3x02+4x050，那么P：xR，3x2+4x50【考点】命题的否定【专题】计算题；整体思想；定义法；简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的
19、否定是：xR，3x2+4x50；故答案为：xR，3x2+4x50【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14若不等式2x2+ax+b0的解集为x|3x2，则a=2【考点】一元二次不等式的解法【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】根据不等式2x2+ax+b0的解集得出对应方程2x2+ax+b=0的两个实数根，由根与系数的关系求出a的值【解答】解：由题意不等式2x2+ax+b0的解集是x|3x2，所以3和2是方程2x2+ax+b=0的两个根，所以3+2=，解得a=2故答案为：2【点评】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系与应用问题，解题的关键是根据不等式的解集得出对应方程
20、的根，再由根与系数的关系求参数的值，是基础题15已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f（x）=3ax2+1，f（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2=（3a+1）（21），解得a=1故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力16下列结论中：函数有最大值为； 函数y=23x
21、（x0）有最大值24； 若a0，则正确的序号为【考点】基本不等式【专题】函数思想；综合法；不等式【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得【解答】解：由0x可得012x1，y=x（12x）=2x（12x）（）2=，当且仅当2x=12x即x=时取等号，故函数有最大值为，正确；x0，x0，y=23x=2+（3x）+（）2+2=2+4，当且仅当（3x）=（）即x=时取等号，故函数y=23x（x0）有最小值2+4，错误；a0，（1+a）（1+）=2+a+2+2=4当且仅当a=即a=1时取等号，故正确；故答案为：【点评】本题考查基本不等式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共6小题
22、，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csinA正弦定理得，A锐角，sinA0，又C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC即7=a2+b2ab，又由ABC的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+
23、b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用18设数列an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3a2=12（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）依题意，可求得等比数列an的公比q=3，又a1=2，于是可求数列an的通项公式；（2）可求得等差数列bn的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列an+bn的前n项和Sn【解答】解：（1）设数列an的公比为q，由a1=2，a3a2=1
24、2，得：2q22q12=0，即q2q6=0解得q=3或q=2，q0，q=2不合题意，舍去，故q=3an=23n1；（2）数列bn是首项b1=1，公差d=2的等差数列，bn=2n1，Sn=（a1+a2+an）+（b1+b2+bn）=+=3n1+n2【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列与等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出分组求和方法的应用，属于中档题19如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点（1）求证：PD平面ACE；（2）求证：平面ACE平面PBC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【
25、分析】（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EOPD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD平面ACE（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 BC平面PAB，可得BCAE再利用等腰直角三角形的性质证得AEPB再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE平面PBC【解答】证明：（1）连BD交AC于O，连EO，ABCD为矩形，O为BD中点E为PB的中点，EOPD 又EO平面ACE，PD平面ACE，PD平面ACE（2）PA平面ABCD，BC底面ABCD，PABC底面ABCD为矩形，BCABPAAB=A，BC平面PAB，AEPAB，BCAEPA=AB，E为PB中点，AEPB
26、BCPB=B，AE平面PBC，而AE平面ACE，平面ACE平面PBC【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题20已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e（1，2）若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0m、0m15由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可【解答】解：将方程改写为，只有当1m2m0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
27、，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e（1，2），所以m0，且1，解得0m15，所以命题q等价于0m15；若p真q假，则m；若p假q真，则综上：m的取值范围为【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、椭圆的标准方程、双曲线的简单性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题21已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=2相切（）求动圆圆心的轨迹C的方程；（）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ【考点】轨迹方程【专题】计算题；分类讨论；转化思想【分析】（I）由题意可得：动圆圆心到定点（
28、0，2）与到定直线y=2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程即可；（II）设AB：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题【解答】解：（I）依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x2=8y（II）直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2A（x1，y1），B（x2，y2）x28kx16=0，x1+x2=8k，x1x2=16抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，所以，AQB
29、Q【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线定义的应用，体现分类讨论的数学思想定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求22已知函数f（x）=lnxax（aR）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，求函数f（x）在1，2上最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值【解答】解：（1）当a=
30、2时，f（x）=lnxax，函数f（x）的定义域为（0，+），求导函数可得f（x）=2由f（x）0，x0，得0x由f（x）0，x0，得x故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间是（，+）（2）当1，即a1时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，f（x）的最小值是f（2）=ln22a当2，即a时，函数f（x）在区间1，2上是增函数，f（x）的最小值是f（1）=a当12，即时，函数f（x）在1，上是增函数，在，2上是减函数又f（2）f（1）=ln2a，当时，最小值是f（1）=a；当ln2a1时，最小值为f（2）=ln22a综上可知，当0aln2时，函数f（x）的最小值是a；当aln2时，函数f（x）的最小值是ln22a【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键
