1、20102014年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第7节 抛物线1(2014天津，5分)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A由题意可得2，c5，所以c2a2b25a225，解得a25，b220，则所求双曲线的方程为1.2(2014江西，5分)过双曲线C：1 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于一点A.若以 C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过 A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C 的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：选A设双曲线的右焦点为F，则F(c
2、,0)(其中c)，且c|OF|r4，不妨将直线xa代入双曲线的一条渐近线方程yx，得yb，则A(a，b)由|FA|r4，得 4，即a28a16b216，所以c28a0，所以8ac242，解得a2，所以b2c2a216412，所以所求双曲线的方程为1. 3(2014北京，5分)设双曲线C 的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为_解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a1，c，于是b2c2a21，所以方程为x2y21.答案：x2y214(2014新课标全国，5分)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1解析：选D因为双
3、曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.5(2014广东，5分)若实数k 满足0k5 ，则曲线 1与曲线 1的()A实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C离心率相等 D. 焦距相等解析：选D由0k0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C4 D.解析：选D根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以4a2b23ab，所以b4a，双曲线的离心率e，选D.7(2014湖北，5分)设a，b 是关于t的方程t2cos tsin 0 的两个不等实根，则过 A(a，a2)，B(b，b2) 两点的直线与双曲线 1的公共点的
4、个数为()A0 B1C2 D3解析：选A关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根为0，tan (tan 0)，则过A，B两点的直线方程为yxtan ，双曲线1的渐近线为yxtan ，所以直线yxtan 与双曲线没有公共点故选A. 8. (2014山东，5分)已知双曲线 1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_解析：抛物线x22py的准线方程为y，与双曲线的方程联立得x2a2，根据已知得a2c2.由|AF|c，得a2c2. 由可得a2b2，即ab，所以所求双曲线的渐近线
5、方程是yx.答案：yx9(2014浙江，5分)设直线x3ym0(m0) 与双曲线1(a0，b0) 的两条渐近线分别交于点A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB| ，则该双曲线的离心率是_解析：联立直线方程与双曲线渐近线方程yx可解得交点为，而kAB，由|PA|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为3，即3，化简得4b2a2，所以e.答案：10(2014四川，5分)双曲线y21的离心率等于_解析：由双曲线的方程易得a2，b1，c，故离心率e.答案：11（2013新课标全国，5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2 D4解
6、析：本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，所以SPOF|OF|yP2.答案：C12（2013山东，5分）抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p()A. B.C. D.解析：本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为yx.设M，则利用求导得切线的斜率为，pt.易知抛物线的焦点坐
7、标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点，(2,0)，共线，所以，解得t，所以p.答案：D13（2013江西，5分）已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12C1 D13解析：本题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查数形结合思想与分析、解决问题的能力过点M作MM垂直于准线y1于点M，则由抛物线的定义知|MM|FM|，所以sin MNM，而MNM为直线FA的倾斜角的补角因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFAtan ，所以sin ，所以sin MNM .故|FM|MN|1.答案：C
8、14（2013北京，5分）若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.答案：2x115（2013浙江，14分）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2) 过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值解：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p
9、0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.当t0时，|MN|2 2.当t0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28y Dx216y解析：双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以2，所以p8
10、，所以抛物线方程为x216y.答案：D17（2012安徽，5分）过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：抛物线y24x准线为x1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知|AF|x113，所以x12，所以y12，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1)，代入抛物线方程消去y得2x25x20，求得x2或，所以x2，故|BF|.答案：18.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析：以抛物线的顶点
11、为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2.答案：219（2012江西，13分）已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(2x04即可根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C22（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C23（2010湖南，5分）设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.答案：B