1、解答题(七)第二部分刷题型17(2019江西名校 5 月联考)已知数列an有 an0，Sn 是它的前 n 项和，a13，且当 n2 时，S2n3n2anS2n1.(1)求证：数列anan1为等差数列；(2)求an的前 n 项和 Sn.解(1)证明：当 n2 时，S2n3n2anS2n1，(SnSn1)(SnSn1)3n2an，an0，所以(SnSn1)3n2，(Sn1Sn)3(n1)2，两式对应相减，得 anan13(2n1)，所以(anan1)(an1an)6n3(6n3)6，又 n2 时，(3a2)212a29，所以 a26，所以 a39，所以(a2a3)(a1a2)69(36)6，所以数
2、列anan1是首项为 9，公差为 6 的等差数列(2)当 n 为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)3(37(2n1)3n232n1232(n2n)当 n 为奇数时，Sna1(a2a3)(an1an)33(59(2n1)33n12 52n1232(n2n2)332(n2n)综上，Sn32(n2n)18(2019福建南平二检)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，ABCD，AB2CD2 2，AD 3，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中点，平面 PAB平面 PCE.(1)求证：CE平面 PAB；(2)在棱 PD 上是否存在点 F，使得二面角 PABF 的
3、余弦值为3 3819，若存在，求出PFPD的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为 AECD，且 AECD 2，所以四边形 AECD 是平行四边形，从而 ADCE，且 CEAD 3，又在正PAB 中，PE 32 AB 6，则在PCE 中，满足 PE2CE2PC2，所以 CEPE，又平面 PAB平面 PCE，平面 PAB平面 PCEPE，CE平面 PCE，所以 CE平面 PAB.(2)由(1)，知 PECE，且 PEAB，CEABE，CE，AB平面 ABCD，所以 PE平面 ABCD，又 AD平面 PAB，AE平面 PAB，所以 ADAE，以点 E 为坐标原点，分别以射线 EC，EA，EP
4、为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0，6)，D(3，2，0)，A(0，2，0)，B(0，2，0)，假设在棱 PD 上存在点 F 满足题意，设PFPD，则PF(3，2，6)(3，2，6)，AFAPPF(0，2，6)(3，2，6)(3，2 2，6 6)，BA(0，2 2，0)，设平面 ABF 的法向量 n(x，y，z)，则 3x 2 2y 6 6z0，2 2y0，取 z1，得 n21，0，1，因为平面 PAB 的一个法向量 m(1,0,0)，所以|cosn，m|3 3819，则2121213 3819，82210，(41)(21)0，因为0，所以 14，
5、所以在棱 PD 上存在点 F 使得二面角 PABF 的余弦值为3 3819，且PFPD14.19(2019河南六市联考一)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的任意一点，且|PF1|PF2|的最大值为 4，椭圆 C 的离心率与双曲线x24y2121 的离心率互为倒数(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 P1，32，过点 P 作两条直线 l1，l2 与圆(x1)2y2r20r32 相切且分别交椭圆于 M，N，求证：直线 MN 的斜率为定值解(1)双曲线x24y2121 的离心率为422，椭圆 C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为 c，a2c，|
6、PF1|PF2|PF1|PF2|22a2，a24，c1，又 b2a2c2413，椭圆 C 的方程为x24y231.(2)证明：显然两直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线 l1，l2 与圆(x1)2y2r20r(k1)x2k1 成立？若存在，请求出 k 的最大值；若不存在，请说明理由(e2.71828)解(1)证明：由已知易得 f(x)a(x1)xln x1，所以 f(x)a1ln x，令 f(x)a1ln x0，得 xe(a1)，显然，x(0，e(a1)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以f(x)minf(e(a1)1ae(a
7、1)，令 t(a)f(x)min，则由 t(a)1e(a1)0，得 a1，所以 a(，1)时，t(a)0，函数 t(a)单调递增，a(1，)时，t(a)k(x2)，令 t(x)xln x(1k)x2k，所以 t(x)ln x2k，由 t(x)ln x2k0，得 xek2，若 ek22，即 k2ln 2 时，在 x(2，)上，有 t(x)0，故函数 t(x)单调递增，所以 t(x)t(2)22ln 20.若 ek22，即 k2ln 2 时，在 x(2，ek2)上，有 t(x)0.故函数 t(x)在x(ek2，)上单调递增，所以在 x(2，)上，t(x)mint(ek2)2kek2.故欲使 xxl
8、n xk(x2)，只需 t(x)mint(ek2)2kek20 即可令 m(k)2kek2，所以 m(k)2ek2，由 m(k)2ek20，得 k2ln 2，所以 k2ln 2 时，m(k)0，m(5)25e5210e30，故 kmax4.21(2019山东济南 3 月模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图 1 所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤
9、芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元，现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图 2 是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，下表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表二级滤芯更换频数分布表：二级滤芯更换的个数56 频数60 40 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的
10、概率(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率；(2)记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 X 的分布列及数学期望；(3)记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若 mn28，且 n5，6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 m，n 的值解(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换 12 个滤芯，二级过滤器需要更换 6 个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好
11、为 30”为事件 A，因为一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0.4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的概率为 0.4，所以 P(A)0.40.40.40.064.(2)由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 10,11,12 的概率分别为 0.2,0.4,0.4.由题意，X 可能的取值为 20,21,22,23,24，并且P(X20)0.20.20.04，P(X21)0.20.420.16，P(X22)0.40.40.20.420.32，P(X23)0.40.420.32，P(X24)0.40.40.16.所以 X 的分布列为X2021222324 P 0.04 0.16
12、0.32 0.32 0.16 E(X)200.04210.16220.32230.32240.1622.4.(3)解法一：因为 mn28，n5,6，若 m22，n6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22802000.324000.1661602848；若 m23，n5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 23802000.1651604000.42832.故 m，n 的值分别为 23,5.解法二：因为 mn28，n5,6，若 m22，n6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Y1(单位：元)，则Y1 1760 1960 2160 P0.5
13、20.320.16 E(Y1)17600.5219600.3221600.161888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Y2(单位：元)，则Y26160960，E(Y2)1960960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Y1)E(Y2)18889602848.若 m23，n5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Z1(单位：元)，则Z1 1840 2040 P0.840.16 E(Z1)18400.8420400.161872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Z2(单位：元)，则Z2 800 1200 P0.60.4 E(
14、Z2)8000.612000.4960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Z1)E(Z2)18729602832.故 m，n 的值分别为 23,5.22已知直线 l 的极坐标方程为 sin4 2 2，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C1 的参数方程为x12cos，y22sin(为参数)(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的普通方程；(2)若曲线 C2 为曲线 C1 关于直线 l 的对称曲线，点 A，B 分别为曲线 C1、曲线 C2 上的动点，点 P 的坐标为(2,2)，求|AP|BP|的最小值解(1)sin4 2 2，
15、22 sin 22 cos2 2，即 cossin4，直线 l 的直角坐标方程为 xy40；x12cos，y22sin，曲线 C1 的普通方程为(x1)2(y2)24.(2)点 P 在直线 xy4 上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等曲线 C1 是以(1，2)为圆心，半径 r2 的圆|AP|min|PC1|r 21222223.|AP|BP|的最小值为 236.23已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x22x.(1)解关于 x 的不等式 g(x)f(x)|x1|；(2)如果对任意的 xR，不等式 g(x)cf(x)|x1|恒成立，求实数 c的取值范围解(1)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，g(x)f(x)x22x，原不等式可化为|x1|2x2，即 x12x2 或 x12x2，解得1x12，故原不等式的解集为1，12.(2)不等式 g(x)cf(x)|x1|可化为|x1|2x2c，即2x2cx12x2c，即2x2xc10，2x2x1c0，要使不等式恒成立，只需18c10，181c0，解得 c98，故 c 的取值范围是，98.本课结束
