1、2015-2016学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1圆x2+y22x+4y+1=0的半径为（）A1BC2D42直线x3y+1=0的倾斜角为（）A30B60C120D1503过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=04双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A4B 4C2D25已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn6若x，y
2、满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD27设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A4B6C8D128一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D49过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）ABCD10甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示现有下列四种说法：前三年该产品产量增长速度越来越快；前三年该产品产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品年产量保持不变其中说法正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11抛物
3、线y2=4x的准线方程是12以边长1的正方形的一边所在直线为旋转轴将正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积等于13双曲线的两条渐近线方程为14f（x）是的导函数，则f（1）的值是 15设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为16如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDAC=O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知三角形的三个顶点A（4，6），B（3，0），C（1，4），求BC边上中线和高线所
4、在的直线方程18已知圆C经过A（1，3），B（1，1）两点，且圆心在直线y=x上（）求圆C的方程；（）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB平面ABCD，点E是棱AB的中点（）求证：CD平面PAB；（）求证：PEAD；（）若CA=CB，求证：平面PEC平面PAB20设aR，函数f（x）=2x3+（63a）x212ax+2（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，2上的最小值21已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点（）求
5、椭圆的方程；（）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程2015-2016学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1圆x2+y22x+4y+1=0的半径为（）A1BC2D4【考点】圆的一般方程【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可【解答】解：圆x2+y22x+4y+1=0变形得：（x1）2+（y+2）2=4，圆的半径为2故选：C【点评】本题考查了圆的标准方程
6、，将所求圆方程化为标准方程是解本题的关键，是基础题2直线x3y+1=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角【解答】解：由题意，直线的斜率为即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0且小于180，故直线的倾斜角为30，故选 A【点评】本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围3过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=0【考点】两条直线平行的判
7、定；直线的一般式方程【专题】计算题【分析】因为所求直线与直线x2y2=0平行，所以设平行直线系方程为x2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x2y+c=0，又经过（1，0），10+c=0故c=1，所求方程为x2y1=0；故选A【点评】本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活4双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A4B4C2D2【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长【解答】解：双曲线2x2y2=8，可化为a=2，双曲线2x2y2=8的实轴长是4故选B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力
8、，属于基础题5已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】在A中，由线面垂直的性质得mn；在B中，n或n；在C中，n与相交、平行或n；在D中，m与n相交、平行或异面【解答】解：由m，n表示两条不同直线，表示平面，知：在A中：若m，n，则由线面垂直的性质得mn，故A正确；在B中：若m，mn，则n或n，故B错误；在C中：若m，mn，则n与相交、平行或n，故C错误；在D中：若m，n，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：
9、A【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用6若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD2【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=0+21=2故选：D【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题7设抛物线y2=8x上一点P到y轴的
10、距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A4B6C8D12【考点】抛物线的定义【专题】计算题【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=2，点P到y轴的距离是4，到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B【点评】本题主要考查了抛物线的定义充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性8一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D4【考点】由三视图求面
11、积、体积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，几何体的体积V=123=2故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量9过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点
12、、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，由此求得斜率k的范围【解答】解：由题意可得点在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即 kxy+k1=0根据直线和圆有公共点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，即3k22k+1k2+1，解得0k，故选：D【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题10甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示现有下列四种说法：前三年该产品产量增长速度越来越快；前三年该产品产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品年产量保持
13、不变其中说法正确的是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据图象的变化快慢进行判断【解答】解：设产量与时间的关系为f（x），由图可知f（3）f（2）f（2）f（1），前三年该产品产量增长速度越来越慢故错误，正确由图可知从第四年开始产品产量不发生变化且f（4）0，故错误，正确故选：D【点评】本题考查了函数图象的物理意义，属于基础题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11抛物线y2=4x的准线方程是x=1【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程【解答】解：2p=4，p
14、=2，开口向右，准线方程是x=1故答案为x=1【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误12以边长1的正方形的一边所在直线为旋转轴将正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积等于2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】空间位置关系与距离【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：121=2，故答案为：2【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力13双曲线的两条渐近线
15、方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想14f（x）是的导函数，则f（1）的值是 3【考点】函数的值；导数的运算【专题】计算题【分析】利用求导法则（xn）=nxn1，求出f（x）的导函数，然后把x等于1代入导函数中求出f（1）即可【解答】解：f（x）=x2+
16、2，把x=1代入f（x）得：f（1）=1+2=3故答案为：3【点评】此题考查学生灵活运用求导法则求函数的导函数，会求自变量对应的导函数的函数值，是一道基础题15设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意作图，从而可得|AB|2=a2+b2，|F1F2|2=4c2，再结合，化简可得a2=2c2，从而求得【解答】解：由题意作图如下，由题意知，|AB|2=a2+b2，|F1F2|2=4c2，a2+b2=4c2，即a2+a2c2=3c2，即a2=2c2，故e=，故答案为
17、：【点评】本题考查了圆锥曲线的性质应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用16如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDAC=O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】根据正方体的结构特征，可证，N在B1D1上，过N作NGA1B1，交A1B1于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值【解答】解：平面ACD1平面BDD1B1，又MN平面ACD1，MN平面BDD1B1，NB1D1，过N作NGA1B1
18、，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0x1），AN=，当x=时，AN取最小值故答案为：【点评】本题考查了正方体的结构性质，考查了函数思想的应用，构造函数模型，利用二次函数求最小值是解题的关键三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知三角形的三个顶点A（4，6），B（3，0），C（1，4），求BC边上中线和高线所在的直线方程【考点】待定系数法求直线方程【专题】数形结合；转化思想；直线与圆【分析】利用中点坐标公式、点斜式可得BC边上中线所在的直线方程，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC边上的高线AH的斜率，进而得出BC
19、边上高线所在的直线方程【解答】解：设BC边中点为M（x0，y0），B（3，0），C（1，4），M（2，2）（2分）又A（4，6），（4分）BC边上中线所在的直线方程为4x3y+2=0（6分）设BC边上的高线为AH，AHBC，（8分）BC边上高线所在的直线方程为x2y+8=0（10分）【点评】本题考查了中点坐标公式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知圆C经过A（1，3），B（1，1）两点，且圆心在直线y=x上（）求圆C的方程；（）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；分类讨论；综
20、合法；直线与圆【分析】（）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程【解答】解：（）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a26a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（11）2+（31）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x1）2+（y1）2=4（5分）（）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意（6分）设直线l方程为y+2=k（x2），即kxy2k2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y2=0（9分）综上，直线l的方程为x2=0或4x+3
21、y2=0（10分）【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB平面ABCD，点E是棱AB的中点（）求证：CD平面PAB；（）求证：PEAD；（）若CA=CB，求证：平面PEC平面PAB【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】（）因为底面ABCD是菱形，推断出CDAB进而根据线面平行的判定定理推断出CD平面PAB（）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，可知PEAB，因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=
22、AB，PE平面PAB，推断出PE平面ABCD，进而根据线面垂直的性质可知PEAD（）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，进而可知CEAB，（）可得PEAB，进而判断出AB平面PEC，根据面面垂直的判定定理推断出平面PAB平面PEC【解答】解：（）因为底面ABCD是菱形，所以CDAB又因为CD平面PAB，所以CD平面PAB（）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PEAB，因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PE平面PAB，所以PE平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以PEAD（）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，所以CEAB，由（）可得PEAB，所以AB平面PEC，
23、又因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PEC【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理及性质要求对满足的条件全面20设aR，函数f（x）=2x3+（63a）x212ax+2（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在2，2上的最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题【分析】（）求出函数的导函数，把a=1代入导函数确定出导函数的解析式，然后把x=0代入导函数中求出值即为切线的斜率，把x=0代入f（x）的解析式中求出切点的纵坐标f（0），然后根据求出的切点坐标和斜率写出切线的方程即可；（）令
24、导函数等于0求出此时x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于2两种情况，由x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，由函数的增减性即可得到函数的最小值【解答】解：（）f（x）=6x2+（2a）x2a=6（x+2）（xa）（3分）当a=1时，f（0）=12，f（0）=2，所以切线方程为y2=12x，即12x+y2=0（6分）（）令f（x）=0，解得：x1=2，x2=aa2，则当x（2，2）时，f（x）0，函数f（x）在（2，2）上单调递减，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=4236a（ 8分）2a2，则当x（2，2）时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表
25、：所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=a36a2+2（11分）a2，则当x（2，2）时，f（x）0，函数f（x）在（2，2）上单调递增，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=10+12a（13分）综上，当a2时，f（x）的最小值为10+12a；当2a2时，f（x）的最小值为a36a2+2；当a2时，f（x）的最小值为4236a（14分）【点评】此题考查会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点写出直线的方程，会利用导函数的正负判断函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的最值，是一道综合题21已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直
26、线l交椭圆于P，Q两点（）求椭圆的方程；（）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；（）设直线l的方程为y=x1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；（）分类讨论是否与x轴垂直，从而解出直线l的方程【解答】解：（）由已知，椭圆方程可设为，长轴长2a=，离心率e=，所求椭圆方程为；（）直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，直线l的方程为y=x1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，3y2+2y1=0，解得，（）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时POQ小于90，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x1）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0因为=16k44（1+2k2）（2k22）=8（k2+1）0，所以因为y1=k（x11），y2=k（x21），所以因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，所以kOPkOQ=1，因为，所以x1x2+y1y2=得k2=2所以所以所求直线的方程为【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系应用，同时考查了分类讨论的思想与学生的化简运算能力