1、山东省潍坊市 2020-2021 学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1.已知角 的终边经过点 ，则 （）A.B.C.D.2.在复平面内，若复数 （其中 是虚数单位），则复数 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.敲击如图 1 所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 （其中 ，表示时间，表示纯音振动时音叉的位移）图 2 是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 和 的值分别为（）A.和 B.和 C.和 D.和 4.若 ，
2、则 、的大小关系为（）A.B.C.D.5.已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ，则原四边形 的面积为（）A.B.C.D.6.设 为锐角，若 ，则 （）A.B.C.D.7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 ，其中 、是 内角 、的对边若 ，则 的面积为（）A.B.C.4D.8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行已知船的速度 的大小为 ，水流速度 的大小
3、为 ，船的速度与水流速度的合速度为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）A.船头方向与水流方向垂直B.C.D.该船到达对岸所需时间为 分钟二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”若复数 （，为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.复数 是纯虚数10.如图，若 为正六棱台，则下列说法正确的是（）A.直线 与 是异面直线B.直线 与 平行C.线段 与 的延长线相交于一点D.点 到底面 的距离大于点 到底面 的距离11.如图，已知点 是边长为 1 的等边 内一点，满足 ，过点 的直线 分别
4、交 ，于点 ，设 ，则下列说法正确的是（）A.B.点 为 的重心C.D.12.已知函数 满足 ，则下列说法正确的是（）A.函数 的最小正周期为 B.函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像C.若 时，函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 D.函数 的值域为 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知 ，则 _.14.能够说明“设 ，若 ，则 ”是假命题的一组角 ，的值依次为_15.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角 为 ，则塔高 为_m16.如图，已知圆锥 的底面半径 的长度为
5、 1，母线 的长度为 2，半径为 的球 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 ，则 _；若球 与球 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 的表面积为_四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.已知复数 ，（1）求 和 的值；（2）若 是关于 的实系数方程 的一个根，求实数 ，的值18.在 中，、分别是角 、的对边，_，从 ，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（1）求角 的大小；（2）若 ，的面积 ，求 的周长19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 的高是长方体 高的 ，且底面正方形 的边长为4，（1）求 的长
6、及该长方体的外接球的体积；（2）求正四棱锥的斜高和体积20.在 中，分别是角 ，的对边，（1）求角 的大小及 外接圆的半径 的值；（2）若 是 的内角平分线，当 面积最大时，求 的长21.如图 1，在直三棱柱 中，分别为 ，的中点，平面 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图 2，3 所示）（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为 72，求实数 的值；（2）将图 2 和图 3 两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于 132，求实数 的取值范围22.已知向量 ，函数 （1）求函数 的解析式和单调递增区间；（2）若 ，分别为 三个内角 ，的对边，试判断这个三角形解的个数，并
7、说明理由；（3）若 时，关于 的方程 恰有三个不同的实根 ，求实数 的取值范围及 的值答案解析部分一、单选题1.已知角 的终边经过点 ，则 （）A.B.C.D.【答案】B 【考点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】因为角 的终边经过点 ，所以 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合正切函数的定义，从而求出角 的正切值。2.在复平面内，若复数 （其中 是虚数单位），则复数 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】根据复数的几何意义，可得复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限。故答案为：D.【分析】利用
8、已知条件结合复数 z 的几何意义，从而求出复数 z 对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。3.敲击如图 1 所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 （其中 ，表示时间，表示纯音振动时音叉的位移）图 2 是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 和 的值分别为（）A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】D 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，y=Asin（x+）中参数的物理意义【解析】【解答】解：由题意得 ，则 则 .故答案为：D【分析】根据函数 的图象与性质求解即可.4.若 ，则 、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C 【考
9、点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，则 ，因为 ，故 ，故 。故答案为：C.【分析】利用正弦函数的图像、余弦函数的图像、同角三角函数基本关系式和对数函数的单调性，从而比较出 a,b,c 的大小。5.已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ，则原四边形 的面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【考点】斜二测画法直观图【解析】【解答】根据直观图知 ，又因为 ，所以 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而利用三角形的面积和直角梯形的面积的关系，从而求出原四边形 的面积。6.设 为锐角，若 ，则 （）A.B.C.D.【答案】C 【考点】两
10、角和与差的正切公式【解析】【解答】因为 ，可得 ，由 ，所以 ，可得 ，所以 。故答案为：C.【分析】因为 ，可得 ，由 ，可得 ，再利用两角差的正切公式，从而求出 的值。7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 ，其中 、是 内角 、的对边若 ，则 的面积为（）A.B.C.4D.【答案】A 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】由余弦定理可得 ，所以，所以，。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合余弦定理得
11、出 ，再利用 计算三角形面积的“三斜求积术”，从而求出三角形 的面积。8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行已知船的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）A.船头方向与水流方向垂直B.C.D.该船到达对岸所需时间为 分钟【答案】B 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意可知，当船的航程最短时，而船头的方向与 同向，由 ，可得 ，A 选项错误，B 选项正确；，C 选项错误；该船到达对岸所需时间为 （分钟），D
12、 选项错误.故答案为：B.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和数量积求向量夹角公式，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而找出说法正确的选项。二、多选题9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”若复数 （，为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.复数 是纯虚数【答案】A,C 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模【解析】【解答】因为复数 （，为虚数单位）为“等部复数”，根据“等部复数”的定义，可得 ，即 ，所以 A 符合题意；由 ，所以 B 不正确；由 ，可得 ，所以 C 符合题意；由 ，所以 D 不正确.故答案
13、为：AC.【分析】利用“等部复数”的定义求出 a 的值；再利用复数求模公式求出复数的模；再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 z 的共轭复数；再结合复数为纯虚数的判断方法，从而选出说法正确的选项。10.如图，若 为正六棱台，则下列说法正确的是（）A.直线 与 是异面直线B.直线 与 平行C.线段 与 的延长线相交于一点D.点 到底面 的距离大于点 到底面 的距离【答案】A,B,C 【考点】异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：若 为正六棱台，对于 A，由不共线的三点 共面，不在这个面内，故直线 与 是异面直线，正确；对于 B，因为直线 与
14、 平行，直线 与 平行，则直线 与 平行，B 符合题意；对于 C，因为 为正六棱台，则侧棱 与 的延长线相交于一点，正确；对于 D，点 到底面 的距离和点 到底面 的距离都等于棱台的高，故应该相等，D 不符合题意；故答案为：ABC.【分析】利用正六棱台的结构特征结合已知条件，再利用异面直线的判断方法、两直线平行的判断方法、点到平面的距离求解方法和比较法，从而找出说法正确的选项。11.如图，已知点 是边长为 1 的等边 内一点，满足 ，过点 的直线 分别交 ，于点 ，设 ，则下列说法正确的是（）A.B.点 为 的重心C.D.【答案】B,D 【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义，三点共线，
15、三角形五心【解析】【解答】解：取 的中点 ，的中点 ，则 ，三点共线，同理 ，三点共线，是 的重心，B 符合题意；，即 ，A 不符合题意；所以 ，D 符合题意；因为 ，所以 ，所以 ，又因 三点共线，所以 ，所以 ，C 不符合题意.故答案为：BD【分析】利用已知条件结合等边三角形的结构特征，再利用向量共线定理和平面向量基本定理，推出 ；再利用重心的定义推出点 为 的重心；再结合三点共线的判断方法，从而推出 ；再结合向量的模求解方法，从而求出 ，进而找出说法正确的选项。12.已知函数 满足 ，则下列说法正确的是（）A.函数 的最小正周期为 B.函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像C.若
16、时，函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 D.函数 的值域为 【答案】A,B,D 【考点】函数的值域，函数单调性的性质，三角函数的周期性及其求法，函数 y=Asin（x+）的图象变换【解析】【解答】由题意，函数 满足 ，即函数 的图象关于 对称，可得 ，解得 ，即 ，因为 ，可得 ，所以 ，可得函数 的最小正周期为 ，所以 A 符合题意；函数 的图像向右平移 个单位，可得函数 ，所以 B 符合题意；由 时，可得函数 当 时，可得 ，则 ，因为函数 在区间 上单调递增，所以 C 不符合题意；由 ，令 ，则 ，所以 ，表示开口向上，且对称轴为 的抛物线，当 时，可得 ；当 时，可得 ，即
17、函数 的值域为 。故答案为：ABD.【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出 的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期；再利用正弦型函数的图象变换得出函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像；再利用已知条件结合函数的单调性，从而利用已知条件函数 在区间 上单调递减，进而求出实数 的取值范围；再利用函数求值域的方法求出函数 的值域为 ，进而找出说法正确的选项。三、填空题13.已知 ，则 _.【答案】【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】由题 ，则 ，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合向量垂直数
18、量积为 0 的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出 m 的值。14.能够说明“设 ，若 ，则 ”是假命题的一组角 ，的值依次为_【答案】；（答案不唯一）【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：因为 ，且 ，如 ；，满足 ，但是 ，不满足 。故答案为：；（答案不唯一）。【分析】利用已知条件结合命题真假的判断方法，从而得出一组角 ，的值。15.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角 为 ，则塔高 为_m【答案】10 【考点】正弦定理的应用【解析】【解答】在 中，因为 ，可得 ，由正弦定理，可得 ，在直角 中，可得
19、，即塔高 为 。故答案为：10。【分析】利用已知条件结合三角形内角和为 180 度的性质，从而求出 的值，再利用正弦定理求出BC 的长，在直角 中结合正切函数的定义，从而求出塔高 AB 的长。16.如图，已知圆锥 的底面半径 的长度为 1，母线 的长度为 2，半径为 的球 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 ，则 _；若球 与球 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 的表面积为_【答案】；【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：该几何体的轴截面如图所示，由题意可知 为等边三角形，且边长为 2，圆 与三角形的三边都相切，圆 的半径等于球 的半径为 ，则 ，解得 ，因为
20、，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以球 的表面积为 。故答案为：，。【分析】由题意可知三角形 为等边三角形，且边长为 2，圆 与三角形的三边都相切，圆 的半径等于球 的半径为 ，再利用两三角形面积相等结合三角形的面积公式，解得 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，再利用球的表面积公式，从而求出球 的表面积。四、解答题17.已知复数 ，（1）求 和 的值；（2）若 是关于 的实系数方程 的一个根，求实数 ，的值【答案】（1）由题意，复数 ，所以 ，（2）因为 是关于 的实系数方程 的一个根，所以 ，整理得 ，可得 ，解得 ，所以 ，【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数
21、代数形式的加减运算【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法和乘法运算法则，从而求出 和 的值。（2）利用 是关于 的实系数方程 的一个根结合代入法和复数的混合运算法则，再利用复数相等的等价关系，从而求出 m,n 的值。18.在 中，、分别是角 、的对边，_，从 ，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（1）求角 的大小；（2）若 ，的面积 ，求 的周长【答案】（1）选：，；选：由正弦定理得：，在 中，可得 ，；（2）由（1）知 ，由余弦定理可得 ，则 ，因此，的周长为 【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）从 ，这两个条件中
22、任选一个，补充在问题中并作答。选：利用已知条件结合余弦定理和三角形中角 A 的取值范围，从而求出角 A 的值。选：利用已知条件结合正弦定理得出 ，在 中，因为 ，所以 ，所以 ，再利用两角和的正弦公式结合同角三角函数基本关系式，从而结合三角形中角 A 的取值范围，进而求出角 A 的值。（2）由（1）知 ，再利用三角形的面积公式结合已知条件，从而求出 c 的值，再利用余弦定理求出 a 的值，再结合三角形的周长公式，从而求出三角形 的周长。19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 的高是长方体 高的 ，且底面正方形 的边长为4
23、，（1）求 的长及该长方体的外接球的体积；（2）求正四棱锥的斜高和体积【答案】（1）几何体 为长方体且 ，记长方体外接球的半径为 ，线段 就是其外接球直径，则 ，外接球的体积为 （2）如图，设 ，交于点 ，连结 ，则 为正四棱锥的高，为正四棱锥，为正四棱锥的高，又长方体的高为 ，取 的中点 ，连结 、，则 为正四棱锥的斜高，在 中，正四棱锥的斜高为 ，体积为 【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积【解析】【分析】（1）因为几何体 为长方体且 ，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出 的长；记长方体外接球的半径为 ，线段 就是其外接球直径，从而求出外接球的直径
24、，进而求出外接球的半径，再利用外接球的体积公式，从而求出该长方体的外接球的体积。（2）设 ，交于点 ，连结 ，则 为正四棱锥的高，因为 为正四棱锥，所以 为正四棱锥的高，又因为长方体的高为 ，所以利用中点的性质求出 ，取 的中点 ，连结 、，则 为正四棱锥的斜高，在 中，利用勾股定理求出 的长，再利用四边形的面积公式结合四棱锥的体积公式，从而求出正四棱锥的斜高为，体积为 。20.在 中，分别是角 ，的对边，（1）求角 的大小及 外接圆的半径 的值；（2）若 是 的内角平分线，当 面积最大时，求 的长【答案】（1）由 ，得 ，解得 ，由正弦定理得，解得 （2）在 中，由余弦定理得，当且仅当 时等
25、号成立此时 最大，且 为等腰三角形，在 中，由正弦定理得：，【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简函数为正弦型函数，再利用三角形中角 B 的取值范围，进而求出角 B 的值，再结合正弦定理的性质，从而求出三角形 外接圆的半径 的值。（2）在 中，由余弦定理和均值不等式求最值的方法得出 ，当且仅当 时等号成立，此时 最大，且 为等腰三角形，所以 ，在 中，由正弦定理求出 AD 的长。21.如图 1，在直三棱柱 中，分别为 ，的中点，平面 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图 2，3 所示）（1
26、）若两个新直三棱柱的表面积之和为 72，求实数 的值；（2）将图 2 和图 3 两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于 132，求实数 的取值范围【答案】（1）解：，为 的中点，又 ，易知三棱柱被平面 分割成两个相同的直三棱柱，每个直三棱柱的表面积为：，两个新直三棱柱的表面积之和 ，解得：（2）由题可知：图 2、图 3 的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有 4 种可能的情形：当底面是边长为 ，的矩形，侧棱长为 的直四棱柱时，表面积 ，当底面是边长为 ，的平行四边形，侧棱长为 的直四棱柱时，表面积 ，当底面是边长为 ，的平行四边形，侧棱长为 的直四棱柱时，
27、表面积 ，当底面是边长为 ，的四边形（非矩形），侧棱长为 的直四棱柱时，表面积 ，由上可知：表面积的最大值为 ，由题意得：，解得：实数 的取值范围是 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【分析】（1）因为 ，为 的中点，再利用等腰三角形三线合一推出线线垂直，所以 ，又因为 ，所以 ，易知三棱柱被平面 分割成两个相同的直三棱柱，再利用直三棱柱的表面积公式结合求和法和已知条件，从而求出 k 的值。（2）由题可知，图 2、图 3 的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有 4 种可能的情形，再利用分类讨论的方法结合直四棱柱的表面积公式，从而得出表面积的最大值为 ，由题意得 ，再解一元二
28、次不等式求出实数 的取值范围。22.已知向量 ，函数 （1）求函数 的解析式和单调递增区间；（2）若 ，分别为 三个内角 ，的对边，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；（3）若 时，关于 的方程 恰有三个不同的实根 ，求实数 的取值范围及 的值【答案】（1）解：由题意知，令 ，解得：，的单调递增区间为 （2），即 ，又 ，假设三角形存在，由正弦定理可得，当 时，三角形无解当 时，三角形有唯一解当 时，此时 ，有两个不同的值，故三角形有两解当 时，故三角形有唯一解综上所述，当 时，三角形无解；当 或 时，三角形有唯一解；当 时，三角形有两解（3），方程 可化为 ，即 ，化简得：（*），即 ，或
29、 ，又 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 时，在 上有两个不同的实根为 ，又 ，解得：，易知 ，关于 对称，即 ，综上所述，的取值范围为 ，的值为 【考点】函数的单调性及单调区间，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调递增区间。（2）利用已知条件结合正弦定理和分类讨论的方法，从而得出当 时，三角形无解；当 或 时，三角形有唯一解；当 时，三角形有两解。（3）因为 ，所以方程 可化为 ，所以 或 ，又因为 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 时，所以 在 上有两个不同的实根为 ，又因为 ，所以 ，所以 ，易知 ，关于 对称，再利用图形的对称性，所以 ，所以 。