1、第二章综合检测题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列等式成立的是()ABa00C(ab)ca(bc)D|ab|a|b|答案D2如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()AabBab1CabD|a|b|答案D解析两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则ab1不成立，所以选项B不正确；|a|b|1，则选项D正确3如右图，ab等于()A2e14e2B4e12e2
2、Ce13e2D3e1e2答案C解析abe13e2.4(2015北京海淀区期末)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么()ABCDAD答案D解析()6(2015诸城模拟)已知a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，且存在m、nR使cmanb成立，若a、b、c的终点共线，则必有()Amn0Bmn1Cmn1Dmn1答案C解析设a，b，c，a、b、c的终点共线，设，即()，(1)，即c(1)ab，又cmanb，mn1.6与向量a(1,1)平行的所有单位向量为()A(，)B(，)C(，)D(，)或(，)答案D解析与a平行的单位向量为.7(2013湖北文)已知点A(1,1)、B(1,
3、2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()ABCD答案A解析本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算由条件知(2,1)，(5,5)，10515.|5，则在方向上的投影为|cos，故选A8已知C为ABC的一个内角，向量m(2cosC1，2)，n(cosC，cosC1)若mn，则C等于()ABCD答案C解析mn，2cos2C3cosC20，(2cosC1)(cosC2)0，cosC，又C为ABC的一个内角，C.9(2015四川理)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()A20B15C9D6答案C解析选择，为基向量3，又2，于是()()(43)(43)(
4、16|29|2)9，故选C10(2012全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|答案C解析利用排除法可得选项C是正确的，|ab|a|b|，则a、b共线，即存在实数，使得aB如选项A：|ab|a|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D；若存在实数，使得ab，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立11已知ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，则a与b的夹角为()A30B1
5、50C150D30或150答案C解析由ab0且a、b不同向abx20，x2当x时，a、b同向x2且x(2)a2b(12x,4)，2ab(2x,3)(2x1)(2x)340即2x23x140解得：x或x2.18(本题满分12分)(2015山东师大附中期中)设e1、e2是正交单位向量，如果2e1me2，ne1e2，5e1e2，若A、B、C三点在一条直线上，且m2n，求m、n的值解析以O为原点，e1、e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，则(2，m)，(n，1)，(5，1)，所以(3，1m)，(5n,0)，又因为A、B、C三点在一条直线上，所以，所以30(1m)(5n)0，与m
6、2n构成方程组，解得或19(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当atb(tR)的模取最小值时(1)求t的值；(2)已知a与b成45角，求证：b与atb(tR)垂直解析(1)设a与b的夹角为，则|atb|2|a|2t2|b|22tab|a|2t2|b|22|a|b|tcos|b|2(tcos)2|a|2(1cos2)当tcos时，|atb|取最小值|a|sin.(2)a与b的夹角为45，cos，从而t，b(atb)abt|b|2|a|b|b|20，所以b与atb(tR)垂直，即原结论成立20(本题满分12分)已知向量a、b不共线，ckab，dab，(1)若cd，求k的值，并判断c、
7、d是否同向；(2)若|a|b|，a与b夹角为60，当k为何值时，cD解析(1)cd，故cd，即kab(ab)又a、b不共线，得即cd，故c与d反向(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos60又cd，故(k1)a2a20.即(k1)0.解得k1.21(本题满分12分)(2015广东理)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m(，)，n(sinx，cosx)，x(0，)(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解析(1)mn，mn0.故sinxcosx0，tanx1.(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin(x).又x(0，)，x(，)，x，即x，故x的值为.22(本题满分12分)已知向量a(，1)，b(，)(1)求证：ab；(2)是否存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由解析(1)ab(，1)(，)0，aB(2)假设存在非零实数k，t使xy，则a(t23)b(katb)0，整理得ka2tk(t23)abt(t23)b20.又ab0，a24，b21.4kt(t23)0，即k(t23t)(t0)，故存在非零实数k、t，使xy成立，其关系为k(t33t)(t0)
