1、压轴题(七)第二部分刷题型12已知函数 f(x)xln xax3，g(x)x3x2，若x1，x213，2，f(x1)g(x2)0，则实数 a 的取值范围为()A0，)B1，)C2，)D3，)答案 B解析 g(x)3x22x3xx23，x13，2，当 x23，2 时，g(x)0，g(x)在区间23，2 上单调递增，当 x13，23 时，g(x)0，g(x)在区间13，23 上单调递减，而 g13 2270，xln x0，即 h(x)在区间13，1 上单调递增；当 x(1,2时，1x0，h(x)0)yk(x2)，且 x2y23，则ABC 面积的最大值等价转化为直线 yk(x2)与圆 x2y23 有
2、公共点时的 k 的最大值，则圆心(0,0)到直线 yk(x2)的距离 d|2k|1k23，可得 01，所以 ln x0，所以 g(x)12，令 g(x)0，得 xea+12，当 1x0;当 xea+12时，g(x)0，所以 g(x)的单调递减区间为ea+12，单调递增区间为1，ea+12.(2)x2f(x)a2e，即 xln xaxae20 对 x(0，)恒成立，令 h(x)xln xaxae2，则 h(x)ln x1a，令 h(x)0，得 xea1，当 x(0，ea1)时，h(x)0，所以 h(x)的最小值为 h(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1，令 t(a)ae2ea1，则
3、 t(a)1ea1，令 t(a)0，得 a1，当 a0,1)时，t(a)0，t(a)在0,1)上单调递增；当 a(1，)时，t(a)0；当 a1，)时，h(x)的最小值为 t(a)ae2ea10t(2)故 a 的取值范围是0,221(2019陕西部分学校高三摸底)已知圆 O：x2y21 和抛物线 E：yx22，O 为坐标原点(1)已知直线 l 与圆 O 相切，与抛物线 E 交于 M，N 两点，且满足 OMON，求直线 l 的方程；(2)过抛物线 E 上一点 P(x0，y0)作两条直线 PQ，PR 与圆 O 相切，且分别交抛物线 E 于 Q，R 两点，若直线 QR 的斜率为 3，求点 P 的坐标
4、解(1)由题意，知直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykxb，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线 l 与圆 O 相切，得|b|k211，所以 b2k21.由ykxb，yx22，消去 y，得 x2kxb20.所以 x1x2k，x1x2b2.由 OMON，得OM ON 0，即 x1x2y1y20，所以 x1x2(kx1b)(kx2b)0，所以(1k2)x1x2kb(x1x2)b20，所以 b2(b2)(b21)bb20，解得 b1 或 b0(舍去)所以 k0，故直线 l 的方程为 y1.(2)设 Q(x3，y3)，R(x4，y4)，则kRQy3y4x3x4x232x242x3x4x3x4，
5、所以 x3x4 3.由题意，知直线 PQ，PR 的斜率均存在，设 PQ：yy0k1(xx0)，由直线 PQ 与圆 O 相切，得|y0k1x0|k211 1，即(x201)k212x0y0k1y2010，设 PR：yy0k2(xx0)，同理可得(x201)k222x0y0k2y2010.由题意可得 x201，故 k1，k2 是方程(x201)k22x0y0ky2010 的两个根，所以 k1k22x0y0 x201.由yk1xy0k1x0，yx22，得 x2k1xk1x0y020，故 x0 x3k1，同理可得 x0 x4k2，则 2x0 x3x4k1k2，即 2x0 32x0y0 x201，所以 2x0 32x0 x202x201，解得 x0 33 或 x0 3.当 x0 33 时，y053；当 x0 3时，y01.故 P 33，53 或 P(3，1)本课结束
