1、第7练基本初等函数问题内容精要基本初等函数就是最基本的函数，在后面所学的函数都是由它们转变延伸而来，我们在本讲所要复习的基本初等函数是指指数函数、对数函数、幂函数，我们要研究的是它们及它们所复合后的函数的性质及有关运算等知识题型一指数函数的图象和性质例1已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_破题切入点判断函数t|2xm|的单调区间，结合函数y2t的单调性，得m的不等式，求解即可答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间，)上单调递增，在区间(，上单调递减而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则
2、有2，即m4，所以m的取值范围是(，4故填(，4题型二对数函数的图象和性质例2函数y2log4(1x)的图象大致是()破题切入点求出函数y2log4(1x)的定义域并判断函数的单调性，即可得出结论答案C解析函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.题型三幂函数的图象和性质例3已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当10且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A0a0 Ba1且b0C0a1且b1且b0答案C解析(1)当0a1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限yaxb1的图象经过第二、三、四象限，只可能0
3、a1.(2)如图，这个图可理解为yax (0a1)的图象向下平移大于1个单位长度解得b0.由(1)、(2)可知0a1且bba BbcaCacb Dabc答案D解析因为alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然abc.3(2014福建)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3x()x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与yl
4、og3x的图象关于y轴对称显然不符故选B.4设a0，b0()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则a0时有2x2xb.5“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2xz成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg ylg xlg z，根据对数函数的基本运算可得，y2xz，但反之，若y2xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z成等差数列故选A.6已知x，y为正实数，则()A2lg xlg y2lg x2lg yB2l
5、g(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg yD2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg(xy)2lg xlg y2lg x2lg y.7已知0a1，则函数f(x)ax|logax|的零点个数为_答案2解析分别画出函数yax(0a1)与y|logax|(0a1)的图象，如图所示，图象有两个交点8若函数y|1x|m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是_答案1,0)解析由题得，函数y.首先作出函数y的图象，如图所示由图象可知要使函数y的图象与x轴有公共点，则m1,0)9已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x10解析当x0时，f(
6、x)()xlog3x是减函数，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.当0x1f(x0)0.10定义两个实数间的一种新运算“*”：x*yln(exey)，x，yR.当x*xy时，x.对任意实数a，b，c，给出如下命题：a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)；(a*b)c(ac)*(bc)；(a*b)*ca*(b*c)；.其中正确的命题有_(写出所有正确的命题序号)答案解析因为a*bln(eaeb)，b*aln(ebea)，所以a*bb*a，即对；因为(a*b)cln(eaeb)cln(eaeb)ecln(eacebc)(ac)*(bc)，所以对；只需令中的c为c，即有结论(a*b)c
7、(ac)*(bc)，所以对；因为(a*b)*cln(eaeb)*clneln(eaeb)ecln(eaebec)，a*(b*c)a*ln(ebec)lneaeln(ebec)ln(eaebec)，所以(a*b)*ca*(b*c)，即对；设x，则x*xa*b，所以ln(exex)ln(eaeb)，所以2exeaeb，所以xln ，即ln ln ，故对故正确的命题是.11设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以，函数
8、f(x)的零点为3和1.(2)依题意，方程ax2bxb10有两个不同实根所以，b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a0)，n为正整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值解(1)因为f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn，所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1，所以a1，即a1.故a1，b0.(2)由(1)知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1.令f(x)0，解得x，在上，f(x)0，故f(x)单调递增；而在上，f(x)0，故f(x)单调递减故f(x)在(0，)上的最大值为fn.