1、第三章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B2三次函数yax3x在(，)内是减函数，则()Aa0 Ba1Ca2 Da答案A解析y3ax21，由y0得3ax210.a0.3如果函数f(x)x4x2，那么f(i)()A2i B2iC6i D6i答案D解析因为f(x)4x32x，所以f(i)4i32i6i.4若对任意x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数为()Af(x)x4 Bf(x)x42Cf(x)x
2、41 Df(x)x42答案B解析用f(1)1验证即可5已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案D解析当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项满足题意6设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()Af(x)的极大值为f(，极小值为f()Bf(x)的极大值为f()，极小值为f()Cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)答案D解析由函数
3、yxf(x)的图象可知x(，3)，f(x)0，f(x)单增x(3，)，f(x)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(|a|)log310af(a)f(b)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13li 的值是_答案解析约掉零因子1cosx.14已知曲线yx32与曲线y4x21在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为_答案解析两曲线在x0处切线互相垂直(x)(8x0)1x0.15若函数yx3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_答案(0，)解析若函数yx3bx有三个单调区间，则其导数y4x2b0有两个不相等的实数根，所以b0.16(2010江苏卷)
4、函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_答案21解析y2x，过点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x
5、)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值解(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc，c0，f(x)3ax2b的最小值为12，b12，又直线x6y70的斜率为，因此，f(1)3ab6，a2，b12，c0.(2)单调递增区间是(，)和(，)f(x)在1,3上的最大值是18，最小值是8.18(本题满分12分)已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间解(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，
6、其定义域是(0，)，且f(x)x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)19(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半径，单位是cm，已知每出售1 mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小解析由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是yf(r)0.2r30.8r20.8(r2)，0r6.f(r)0.8(r22r)，当r2时，f(r)0.当r(0,2)时，f(r)0.因此，当半径
7、r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低所以半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值半径为6 cm时，利润最大20(本题满分12分)已知函数f(x)x2mlnx.(1)若函数f(x)在(，)上是递增的，求实数m的取值范围；(2)当m2时，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值解析(1)若函数f(x)在(，)上是增函数，则f(x)0在(，)上恒成立而f(x)x，即mx2在(，)上恒成立，即m.(2)当m2时，f(x)x，令f(x)0得x，当x1
8、，)时，f(x)0，故x是函数f(x)在1，e上唯一的极小值点，故f(x)minf()1ln2，又f(1)，f(e)e22，故f(x)max.21(本题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bx.(1)若函数yf(x)在x2处有极值6，求yf(x)的单调递减区间；(2)若yf(x)的导数f(x)对x1,1都有f(x)2，求的范围解析(1)f(x)3x22axb，依题意得解得f(x)3x25x2.令f(x)0，得x2.yf(x)的单调递减区间是(，2)不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：Q点的坐标为(0，1)设z，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率KPQ1，由图可知z1或z0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)a，则有解得(2)由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a，()当0a1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x.综上所述，所求a的取值范围为，)
