1、第四部分：数列、不等式（2）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1下列各点中，不在xy10表示的平面区域的是()A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)【解析】将x1，y3代入xy1得13110，故(1,3)不在xy10表示的平面区域内【答案】C2(2012年吉林联考)已知变量x，y满足约束条件，则z2xy的最大值为()A4 B2C1 D4【解析】先作出约束条件满足的可行区域，由图形易得在点(1,0)处z2xy取得最大值2.【答案】B3(2011年汤阴模拟)已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数zkxy.当且仅当x，y时，目标函数z取最小值，则实数
2、k的取值范围是() 【解析】由题意可知，只需要目标函数y=kx-z的斜率比kAC大比kBC小即可【答案】A4(2012年海南一模)点P(x，y)在直线4x3y0上，且x，y满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是()A0,5 B0,10C5,10 D5,15【解析】因x，y满足-14x-y7，则点P(x，y)在所确定的区域内，且原点也在这个区域内又点P(x，y)在直线4x+3y=0上，解得A(-6,8)解得B(3，-4)P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10.其取值范围是0,10【答案】B5如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么
3、|PQ|的最小值为()A.1 B.1C21 D.1【解析】由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到(0，-2)的最小值减去圆的半径1，由图可知【答案】A二、填空题6.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是.【解析】由阴影部分知x0,0y1，又20-0+20，故2x-y+20，所求二元一次不等式组为 .【答案】7若实数x，y满足，z3x2y，则z的取值范围是_【解析】作出图象可知，此平面区域是以O(0,0)，A(0,1)，B为顶点的三角形内部(包括边界)，当x=0，y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0，y=1时，x+2y取得最大值2.又因为指数函数y=3x在0,2
4、上为增函数，故z=3x+2y的取值范围为1,9【答案】1,98若线性目标函数zxy在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是_【解析】作出可行域如图：由图可知直线y=-x与y=-x+3平行，若最大值只有一个，则直线y=a必须在直线y=2x与y=-x+3的交点(1,2)的下方，故a2.【答案】a2三、解答题9(2011年黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本与搭载费用之和(万元/件)2030计
5、划最大资金额300万元产品重量(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益(万元/件)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【解析】设搭载产品Ax件，产品By件，预计收益z80x60y.则，作出可行域，如图作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， ， 即M(9,4)所以zmax=809+604=960(万元)【答案】搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元10已知实数x，y满足，(1)若z2xy，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值(3)若z，求z的最大值和最小值【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(1)z=2x+y，y=-2x+z，当直线y=-2x+z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大此时zmax=22+3=7.当直线y=-2x+z经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小此时zmin=21+2=4.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0，垂足为N，则直线l的方程为y=x，点在线段AB上，也在可行域内此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小所以，z的最大值为13，z的最小值为 .所以z的最大值为2，z的最小值为.
